Question

一次函數y=ax+b的圖象分別與x軸、y軸交于點M，N，與反比例函數y=的圖象相交于點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），過點A分別作AC⊥x軸，AE⊥y軸，垂足分別為C、E，過點B分別作BF⊥x軸，BD⊥y軸，垂足分別為F、D，AC與BD交于點K，連接
CD．若點A，B在反比例函數y=的圖象的同一分支上，如圖，問：
（1）S_{四邊形AEDK}______S_{四邊形CFBK}（選擇“＜、=、＞”填空），并寫出上述關系的驗證過程；
（2）求證：△AKB∽△CKD；
（3）求證：BN=AM．

Answer 1

（1）解：∵AC⊥x軸，AE⊥y軸，BF⊥x軸，BD⊥y軸，
∴S_矩形AEOC=k，S_矩形BDOF=k，
∴S_矩形AEOC=S_矩形BDOF，
∴S_矩形AEOC-S_矩形ODKC=S_矩形BDOF-S_矩形ODKC，
∴S_{四邊形AEDK}=S_{四邊形CFBK}；

故答案為：=．
（2）證明：∵S_{四邊形AEDK}=S_{四邊形CFBK}，
∴KD•KA=KC•KB，即=，
∵∠CKD=∠AKB=90°，
∴△AKB∽△CKD；

（3）∵△AKB∽△CKD，
∴∠KCD=∠KAB，
∴DC∥AB，
∵AC∥DN，BD∥CM，
∴四邊形ACDN、四邊形BDCM都是平行四邊形，
∴AN=DC，BM=DC，
∴AN=BM，
∴BN=AM．

分析：（1）根據反比例函數的比例系數k的幾何意義得到S_矩形AEOC=k，S_矩形BDOF=k，則S_矩形AEOC-S_矩形ODKC=S_矩形BDOF-S_矩形ODKC，所以S_{四邊形AEDK}=S_{四邊形CFBK}；
（2）由于S_{四邊形AEDK}=S_{四邊形CFBK}，根據矩形的面積公式得到KD•KA=KC•KB，變形為=，又∠CKD=∠AKB=90°，根據相似三角形的判定方法即可得到△AKB∽△CKD；
（3）由于△AKB∽△CKD，根據相似的性質得∠KCD=∠KAB，根據平行線的判定方法得DC∥AB，則易得四邊形ACDN、四邊形BDCM都是平行四邊形，利用平行四邊形的性質得AN=DC，BM=DC，所以AN=BM，然后根據等量代換即可得到BN=AM．
點評：本題考查了反比例函數的綜合題：掌握反比例函數圖象上點的坐標特征、比例系數的幾何意義和矩形和平形四邊形的判定與性質；熟練運用相似三角形的判定與性質．