Question

25、在△ABC中，∠ABC=45°，H是高AD，BE的交點．
（1）當∠BAC為銳角時（如圖①），求證：BH=AC；
（2）當∠BAC為鈍角時（如圖②），其他條件不變，請畫出符合要求的圖形．這時BH=AC還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）可通過全等三角形來證BH=AC，那么關鍵是證三角形ADC和BDH全等．已知的條件有一組直角，∠DAC和∠EBC都是∠C的余角，因此也相等，只要再證得一組對應邊相等即可得出結論．我們發現∠ABC=45°，因此三角形ABD是等腰直角三角形，因此AD=BD，這樣兩三角形全等的所有條件就都湊齊了，即可得出BH=AC的結論．
（2）同（1）的方法完全相同，也是通過證明三角形HBD和ADC全等來證得．

解答：解：（1）證明：∵∠DAC+∠C=90°，∠EBC+∠C=90°，
∴∠DAC=∠EBC．
∵∠ABC=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形．
∴AD=BD．
又∵∠ADC=∠BDH，
∴Rt△BDH≌Rt△ADC．
∴BH=AC．

（2）如圖，HB=AC仍然成立．
證明：∵∠H+∠HAE=90°，∠C+∠CAD=90°，
又∵∠HAE=∠DAC，
∴∠H=∠C．
∵∠ABC=45°，∠ADB=90°，
∴三角形ABD是等腰直角三角形．
∴AD=BD．
又∵∠BDH=∠ADC，∠H=∠C．
∴Rt△BDH≌Rt△ADC．（AAS）
∴BH=AC．

點評：此題考查簡單的線段相等，可以通過全等三角形來證明，要注意利用此題中的圖形條件，例如同角或等角的余角相等．