Question

已知三角形的三條邊的長是三個連續的正整數，試討論最小邊長分別取什么值時，這個三角形是直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形？

Answer 1

解：設三個連續的正整數n，n+1，n+2為三角形的三邊，當且僅當n+2＜n+n+1，即n＞1，∴n≥2．
（1）．若所構成的三角形是直角三角形，當且僅當n²+（n+1）²=（n+2）²，即n²-2n-3=0，（n+1）（n-3）=0，∴n=3．…
（2）．若所構成的三角形是鈍角三角形，當且僅當n²+（n+1）²＜（n+2）²，即n²-2n-3＜0，（n+1）（n-3）＜0，∴n＜3，又n≥2，∴n=2．…
（3）．若所構成的三角形是銳角三角形，當且僅當n²+（n+1）²＞（n+2）²，即n²-2n-3＞0，（n+1）（n-3）＞0，∴n＞3，又n≥4，∴n=4．…
綜上所述，當n=2時三邊為2、3、4，構成鈍角三角形；當n=3時三邊為3、4、5，構成直角三角形；當n=4時三邊為4、5、6，構成銳角三角形．…
分析：若為直角三角形，那么兩個較小邊的平方和等于最大邊的平方；
若為鈍角三角形，那么兩個較小邊的平方和小于最大邊的平方；
若為銳角三角形，那么兩個較小邊的平方和大于最大邊的平方，進而根據最小邊的取值可得相應的最小值．
點評：考查勾股定理的應用；根據直角三角形中勾股定理的應用判斷出鈍角三角形，銳角三角形三邊的關系是解決本題的關鍵．