Question

【題目】如圖，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8．BC=6，點P以每秒1個單位的速度從
A向C運動，同時點Q以每秒2個單位的速度從A→B→C方向運動，它們到C點后都
停止運動，設點P、Q運動的時間為t秒．
（Ⅰ）在運動過程中，請你用t表示P、Q兩點間的距離，并求出P、Q兩點間的距離
的最大值；
（Ⅱ）經過t秒的運動，求△ABC被直線PQ掃過的面積S與時間t的函數關系式．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）分兩種情況考慮：
當Q在AB邊上時，過Q作QE⊥AC，交AC于點E，連接PQ，如圖1所示：

∵∠C=90°，
∴QE∥BC，
∴△ABC∽△AQE，
∴
在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，
根據勾股定理得：AB=10，
∵AQ=2t，AP=t，
∴==，
整理得：PE=t，QE=t，
根據勾股定理得：PQ2=QE2+PE2 ，
整理得：PQ=t；
當Q在BC邊上時，連接PQ，如圖2所示：

由AB+BQ=2t，AB=10，得到BQ=2t﹣10，CQ=BC﹣BQ=6﹣（2t﹣10）=16﹣2t，
由AP=t，AC=8，得到PC=8﹣t，
根據勾股定理得：PQ==，
當Q與B重合時，PQ的值最大，
則當t=5時，PQ最大值為3；
（Ⅱ）分兩種情況考慮：
當Q在AB邊上時，如圖1，△ABC被直線PQ掃過的面積為S△AQP ，
此時S=APQE=tt=t2（0＜t≤5）；
當Q在BC邊上時，△ABC被直線PQ掃過的面積為S四邊形ABQP ，
此時S=S△ABC﹣S△PQC=×8×6﹣（8﹣t）（16﹣2t）=﹣t2+16t﹣40（5＜t≤8）．
綜上，經過t秒的運動，△ABC被直線PQ掃過的面積S與時間t的函數關系式為．
【解析】（Ⅰ）分Q在AB邊上與Q在BC邊上，分別如圖1和圖2所示，表示出PQ的長，當Q與B重合時，PQ取得最大值，求出即可；
（Ⅱ）分兩種情況考慮：當Q在AB邊上時，如圖1，△ABC被直線PQ掃過的面積為S△AQP；當Q在BC邊上時，△ABC被直線PQ掃過的面積為S四邊形ABQP ， 分別表示出S與t的函數關系式即可．