【題目】如圖,已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8.BC=6,點P以每秒1個單位的速度從
A向C運動,同時點Q以每秒2個單位的速度從A→B→C方向運動,它們到C點后都
停止運動,設點P、Q運動的時間為t秒.
(Ⅰ)在運動過程中,請你用t表示P、Q兩點間的距離,并求出P、Q兩點間的距離
的最大值;
(Ⅱ)經過t秒的運動,求△ABC被直線PQ掃過的面積S與時間t的函數關系式.
【答案】解:(Ⅰ)分兩種情況考慮:
當Q在AB邊上時,過Q作QE⊥AC,交AC于點E,連接PQ,如圖1所示:
∵∠C=90°,
∴QE∥BC,
∴△ABC∽△AQE,
∴
在Rt△ABC中,AC=8,BC=6,
根據勾股定理得:AB=10,
∵AQ=2t,AP=t,
∴=
=
,
整理得:PE=t,QE=
t,
根據勾股定理得:PQ2=QE2+PE2 ,
整理得:PQ=t;
當Q在BC邊上時,連接PQ,如圖2所示:
由AB+BQ=2t,AB=10,得到BQ=2t﹣10,CQ=BC﹣BQ=6﹣(2t﹣10)=16﹣2t,
由AP=t,AC=8,得到PC=8﹣t,
根據勾股定理得:PQ==
,
當Q與B重合時,PQ的值最大,
則當t=5時,PQ最大值為3;
(Ⅱ)分兩種情況考慮:
當Q在AB邊上時,如圖1,△ABC被直線PQ掃過的面積為S△AQP ,
此時S=APQE=
t
t=
t2(0<t≤5);
當Q在BC邊上時,△ABC被直線PQ掃過的面積為S四邊形ABQP ,
此時S=S△ABC﹣S△PQC=×8×6﹣
(8﹣t)(16﹣2t)=﹣t2+16t﹣40(5<t≤8).
綜上,經過t秒的運動,△ABC被直線PQ掃過的面積S與時間t的函數關系式為.
【解析】(Ⅰ)分Q在AB邊上與Q在BC邊上,分別如圖1和圖2所示,表示出PQ的長,當Q與B重合時,PQ取得最大值,求出即可;
(Ⅱ)分兩種情況考慮:當Q在AB邊上時,如圖1,△ABC被直線PQ掃過的面積為S△AQP;當Q在BC邊上時,△ABC被直線PQ掃過的面積為S四邊形ABQP , 分別表示出S與t的函數關系式即可.
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【題目】在平行四邊形ABCD中,點E在AD邊上,連接BE、CE,EB平分∠AEC .
(1)如圖1,判斷△BCE的形狀,并說明理由;
(2)如圖2,若∠A=90°,BC=5,AE=1,求線段BE的長.
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,E,F分別是邊AB,CD上的點,AE=CF,連接EF,BF;EF與對角線AC交于點O,且BE=BF,∠BEF=2∠BAC,FC=2,則AB的長為 .
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【題目】如圖所示,在△ABC中,AD平分∠BAC,AD⊥BC,垂足為D,AN是△ABC外角∠CAM的平分線,CE⊥AN,垂足為E.
(1)求證:四邊形ADCE是矩形;
(2)當△ABC滿足什么條件時,四邊形ADCE是正方形?給出證明.
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【題目】如圖,四邊形ABCD是正方形,E是CD上的一點,△ABF是△ADE的旋轉圖形.
(1)寫成由△ADE順時針旋轉到△ABF的旋轉中心、旋轉角的度數.
(2)連接EF,判斷并說明△AEF的形狀.
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【題目】我市某綠色無公害蔬菜基地有甲、乙兩種植戶,他們們種植了A、B兩類蔬菜,兩種植戶種植的兩類蔬菜的種植面積與總收入如下表:
種植戶 | 種植A類蔬菜面積(單位:畝) | 種植B類蔬菜面積(單位:畝) | 總收入(單位:元) |
甲 | 1 | 3 | 13500 |
乙 | 2 | 2 | 13000 |
說明:不同種植戶種植的同類蔬菜每畝平均收入相等
(1)求A、B兩類蔬菜每畝平均收入各是多少元?
(2)今年甲、乙兩種植戶聯合種植,計劃合租50畝地用來種植A、B兩類蔬菜,為了使總收入不低于16400元,問聯合種植最多可以種植A類蔬菜多少畝?
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