Question

如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D在直線BC上，△ADE是等腰直角三角形，∠DAE=90°，AD=AE，連接CE．
（1）當點D在線段BC上時（如圖1），求證：DC+CE=AC；
（2）當點D在線段CB延長線上時（如圖2）；當點D在線段BC延長線上時（如圖3），探究線段DC、CE、AC之間的數量關系分別為，圖2：______； 圖3：______；

Answer 1

解：（1）如圖1所示，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠BAC=90°，
即∠BAD+∠DAC=90°，
同理有AD=AE，∠DAC+∠CAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD=CE，
∴BC=CE+DC，
在Rt△ABC中，BC=AC，
∴CE+DC=AC；

（2）在圖2中，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠BAC=90°，
即∠BAE+∠EAC=90°，
同理有AD=AE，∠DAB+∠BAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD=CE，
又∵BC+BD=CD，
∴BC=CD-CE，
即AC=CD-CE；
在圖3中，
∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
∴△ACE≌△ABD，
∴BD=CE，
即BC+CD=CE，
∴BC=CE-CD，
∴AC=CE-CD．
故答案是AC=CD-CE；AC=CE-CD．
分析：（1）利用△ABC是等腰直角三角形，易得AB=AC，∠BAC=90°，即有∠BAD+∠DAC=90°，同理可得AD=AE，∠DAC+∠CAE=90°，從而可證∠BAD=∠CAE，從而利用SAS可證△BAD≌△CAE，那么BD=CE，于是BC=CE+DC，再利用勾股定理可知BC=AC，進而可證CE+DC=AC；
（2）同（1）可證△BAD≌△CAE，那么BD=CE，而BC+BD=CD，易證AC=CD-CE；同理在圖3中可證AC=CE-CD．
點評：本題考查了等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理．解題的關鍵是利用SAS證明△BAD≌△CAE．