Question

（2012•牡丹江）如圖①，△ABC中．AB=AC，P為底邊BC上一點，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分別為E、F、H．易證PE+PF=CH．證明過程如下：
如圖①，連接AP．
∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，
∴S_△ABP=

1

2

AB•PE，S_△ACP=

1

2

AC•PF，S_△ABC=

1

2

AB•CH．
又∵S_△ABP+S_△ACP=S_△ABC，
∴

1

2

AB•PE+

1

2

AC•PF=

1

2

AB•CH．
∵AB=AC，
∴PE+PF=CH．
（1）如圖②，P為BC延長線上的點時，其它條件不變，PE、PF、CH又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，并加以證明：
（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面積為49，點P在直線BC上，且P到直線AC的距離為PF，當PF=3時，則AB邊上的高CH=

7

．點P到AB邊的距離PE=

4或10

．

Answer 1

分析：（1）連接AP．先根據三角形的面積公式分別表示出S_△ABP，S_△ACP，S_△ABC，再由S_△ABP=S_△ACP+S_△ABC即可得出PE=PF+PH；
（2）先根據直角三角形的性質得出AC=2CH，再由△ABC的面積為49，求出CH=7，由于CH＞PF，則可分兩種情況進行討論：①P為底邊BC上一點，運用結論PE+PF=CH；②P為BC延長線上的點時，運用結論PE=PF+CH．

解答：解：（1）如圖②，PE=PF+CH．證明如下：
∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，
∴S_△ABP=

1

2

AB•PE，S_△ACP=

1

2

AC•PF，S_△ABC=

1

2

AB•CH，
∵S_△ABP=S_△ACP+S_△ABC，
∴

1

2

AB•PE=

1

2

AC•PF+

1

2

AB•CH，
又∵AB=AC，
∴PE=PF+CH；

（2）∵在△ACH中，∠A=30°，
∴AC=2CH．
∵S_△ABC=

1

2

AB•CH，AB=AC，
∴

1

2

×2CH•CH=49，
∴CH=7．
分兩種情況：
①P為底邊BC上一點，如圖①．
∵PE+PF=CH，
∴PE=CH-PF=7-3=4；
②P為BC延長線上的點時，如圖②．
∵PE=PF+CH，
∴PE=3+7=10．
故答案為7；4或10．

點評：本題考查了等腰三角形的性質與三角形的面積，難度適中，運用面積證明可使問題簡便，（2）中分情況討論是解題的關鍵．