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(2012•密云縣一模)在∠A(0°<∠A<90°)的內部畫線段,并使線段的兩端點分別落在角的兩邊AB、AC上,如圖所示,從點A1開始,依次向右畫線段,使線段與線段在兩端點處互相垂直,A1A2為第1條線段.設AA1=A1A2=A2A3=1,則∠A=
22.5
22.5
°;若記線段A2n-1A2n的長度為an(n為正整數),如A1A2=a1,A3A4=a2,則此時a2=
1+
2
1+
2
,an=
(1+
2
n-1
(1+
2
n-1
(用含n的式子表示).
分析:由題意得到△A1A2A3為等腰直角三角形,利用等腰直角三角形的性質得到∠A2A1A3=45°,再由∠A2A1A3為等腰△AA2A1的外角,利用外角性質即可求出∠A的度數;由△A1A2A3為等腰直角三角形,A1A2=A2A3=1,利用勾股定理求出A1A3的長,由AA1+A1A3求出AA3的長,即為A3A4的長,可得出a2的長;同理求出a3的長,依此類推即可得出an的長.
解答:解:∵A1A2=A2A3,A1A2⊥A2A3,
∴△A1A2A3為等腰直角三角形,
∴∠A2A1A3=45°,
又AA1=A1A2
∴∠A=∠AA2A1,
又∠A2A1A3為△AA2A1的外角,
∴∠A=∠AA2A1=
1
2
∠A2A1A3=22.5°;
∵AA1=A1A2=A2A3=1,
∴A1A2=a1=1;
在Rt△A1A2A3中,根據勾股定理得:A1A3=
2
,
∴AA3=A3A4=a2=AA1+A1A3=1+
2

同理AA5=A5A6=a3=AA3+A3A5=1+
2
+
2
(1+
2
)=3+2
2
=(1+
2
2;
以此類推,an=(1+
2
n-1
故答案為:22.5°;1+
2
;(1+
2
n-1
點評:此題考查了等腰直角三角形的性質,勾股定理,以及三角形的外角性質,屬于規律型題,鍛煉了學生歸納總結的能力,是中考中?嫉念}型.
練習冊系列答案
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