Question

【題目】如圖①，A，B，C，D四點共圓，過點C的切線CE∥BD，與AB的延長線交于點E．

（1）求證：∠BAC=∠CAD；
（2）如圖②，若AB為⊙O的直徑，AD=6，AB=10，求CE的長；
（3）在（2）的條件下，連接BC，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結OC，如圖①，

∵CE為切線，

∴OC⊥CE，

∵CE∥BD，

∴OC⊥BD，

∴ ，

∴∠BAC=∠CAD；

（2）解：如圖②，連結OC交BD于E，

由（1）得OC⊥BD，則BE=DE，

∵AB為直徑，

∴∠D=90°，

∴BD= =8，

∴BE= BD=4，

在Rt△OBE中，OE= =3，

∵BE∥CE，

∴△OBE∽△OCE，

∴ ，即 ，

∴CE= ；

（3）解：∵OE=3，OC=5，

∴CE=5﹣3=2，

∵ ，

∴∠CDB=∠CAB，

∵tan∠CBE= = ，

∴tan∠CAB=tan∠CBE= ，

∵tan∠CAB= ，

∴ = ．

【解析】（1）根據切線的性質和已知條件，得到OC⊥BD，根據垂徑定理得到兩弧相等，根據在同圓中相等的弧所對的圓周角相等，得到∠BAC=∠CAD；（2）由（1）知OC⊥BD，BE=DE；AB為直徑，得到∠D=90°，根據勾股定理求出BD、BE、OE的長，由BE∥CE，得到△OBE∽△OCE，得到比例，求出CE的值；（3）根據在同圓中相等的弧所對的圓周角相等，得到∠CDB=∠CAB，由三角函數tan∠CBE的值，求出tan∠CAB=tan∠CBE的值，求出的值.
【考點精析】認真審題，首先需要了解切線的性質定理(切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑)，還要掌握相似三角形的判定與性質(相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方)的相關知識才是答題的關鍵．