Question

如圖，在銳角△ABC中，BC=9，AH⊥BC于點H，且AH=6，點D為AB邊上的任意一點，過點D作DE∥BC，交AC于點E．設△ADE的高AF為x（0＜x＜6），以DE為折線將△ADE翻折，所得的△A′DE與梯形DBCE重疊部分的面積記為y（點A關于DE的對稱點A′落在AH所在的直線上）．
（1）當x=1時，y=______；
（2）求出當0＜x≤3時，y與x的函數關系式；
（3）求出3＜x＜6時，y與x的函數關系式．

Answer 1

解：（1）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC
∴DE：BC=AF：AH，即DE：9=1：6，
∴DE=，
∴y=AF•DE=×1×=．
故答案為．

（2）當0＜x≤3時，△A′DE與梯形DBCE重疊部分的面積等于△ADE的面積，S_△ABC=BC•AH=27，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
即
∴y=（0＜x≤3）；

（3）如圖，3＜x＜6時，點A′在△ABC外部，即△A′DE與梯形DBCE重疊部分為梯形MNED，
A′F=AF=x，FH=6-x，則A′H=x-（6-x）=2x-6，
∵△ADE∽△ABC，
∴DE：BC=AF：AH，即DE：9=x：6，
∴DE=x；
又∵MN∥DE，
∴△A′MN∽△A′DE，
∴MN：DE=A′H：A′F，即MN：x=（2x-6）：x，
∴MN=3x-9，
∴y=（6-x）（3x-9+x）
=-x²+18x-27（3＜x＜6）．
分析：（1）易證得△ADE∽△ABC，根據三角形相似的性質得DE：BC=AF：AH，即DE：9=1：6，可求出DE，然后根據三角形的面積公式計算即可；
（2）當0＜x≤3時，△A′DE與梯形DBCE重疊部分的面積等于△ADE的面積，由△ADE∽△ABC，根據三角形相似的性質，即可得到y與x的函數關系式；
（3）點A′在△ABC外部，即△A′DE與梯形DBCE重疊部分為梯形MNED，則A′F=AF=x，FH=6-x，則A′H=x-（6-x）=2x-6，先利用三角形相似的性質表示出DE=x；再利用△A′MN∽△A′DE，根據三角形相似的性質求出MN，然后根據梯形的面積公式即可得到y與x的函數關系式．
點評：本題考查了三角形相似的判定與性質：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊所截的三角形與原三角形相似；相似三角形的對應邊的比相等；相似三角形面積的比等于相似比的平方．也考查了分類討論的思想的運用以及三角形和梯形的面積公式．