Question

（2013•浦東新區一模）已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，點M在邊BC上，且∠MDB=∠ADB，BD²=AD•BC．
（1）求證：BM=CM；
（2）作BE⊥DM，垂足為點E，并交CD于點F．求證：2AD•DM=DF•DC．

Answer 1

分析：（1）首先證明BM=DM，再根據已知條件證明△ADB∽△DBC，由相似的性質可得∠BDC=∠A=90°，進而證明DM=CM，所以BM=CM；
（2）由（1）可知M是BC的中點，所以DM是三角形BDC斜邊上的中線，由直角三角形的性質可知BC=2DM，證明Rt△DFB∽Rt△DBC可得

BD

DF

=

DC

BD

，所以BD²=DF•DC，又因為BD²=AD•BC，所以BD²=AD•BC=AD•﹙2DM﹚=2AD•DM．

解答：證明：（1）∵AD∥BC，AB⊥BC，∠MDB=∠ADB，
∴∠ADB=∠DBC=∠MDB，∠A=90°，
∴BM=DM，
又∵BD²=AD•BC，即

AD

BD

=

BD

BC

，
∴△ADB∽△DBC，
∴∠BDC=∠A=90°，
∴∠C=∠MDC=90°-∠DBC，
∴DM=CM，
∴BM=CM，

（2）∵∠MDC+∠DFB=90°，
∴∠DFB=∠DBC，
∴Rt△DFB∽Rt△DBC，
∴

BD

DF

=

DC

BD

，
∴DF•DC=BD²
∵BD²=AD•BC=AD•﹙2DM﹚=2AD•DM，
∴2AD•DM=DF•DC．

點評：本題考查了梯形的性質、直角三角形的性質、相似三角形的判定和性質以及比例式的證明，題目的綜合性很強，難度不小．