Question

【題目】我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形叫做“等鄰角四邊形”

（1）概念理解：
請你根據上述定義舉一個等鄰角四邊形的例子；
（2）問題探究；
如圖1，在等鄰角四邊形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AD，BC的中垂線恰好交于AB邊上一點P，連結AC，BD，試探究AC與BD的數量關系，并說明理由；
（3）應用拓展；
如圖2，在Rt△ABC與Rt△ABD中，∠C=∠D=90°，BC=BD=3，AB=5，將Rt△ABD繞著點A順時針旋轉角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如圖3），當凸四邊形AD′BC為等鄰角四邊形時，求出它的面積．

Answer 1

【答案】
（1）

矩形或正方形

（2）

解：AC=BD，理由為：

連接PD，PC，如圖1所示：

∵PE是AD的垂直平分線，PF是BC的垂直平分線，

∴PA=PD，PC=PB，

∴∠PAD=∠PDA，∠PBC=∠PCB，

∴∠DPB=2∠PAD，∠APC=2∠PBC，即∠PAD=∠PBC，

∴∠APC=∠DPB，

∴△APC≌△DPB（SAS），

∴AC=BD；

（3）

解：分兩種情況考慮：

（i）當∠AD′B=∠D′BC時，延長AD′，CB交于點E，

如圖3（i）所示，

∴∠ED′B=∠EBD′，

∴EB=ED′，

設EB=ED′=x，

由勾股定理得：42+（3+x）2=（4+x）2，

解得：x=4.5，

過點D′作D′F⊥CE于F，

∴D′F∥AC，

∴△ED′F∽△EAC，

∴ ，即 ，

解得：D′F= ，

∴S△ACE= AC×EC= ×4×（3+4.5）=15；S△BED′= BE×D′F= ×4.5× = ，

則S四邊形ACBD′=S△ACE﹣S△BED′=15﹣ =10 ；

（ii）當∠D′BC=∠ACB=90°時，過點D′作D′E⊥AC于點E，

如圖3（ii）所示，

∴四邊形ECBD′是矩形，

∴ED′=BC=3，

在Rt△AED′中，根據勾股定理得：AE= = ，

∴S△AED′= AE×ED′= × ×3= ，S矩形ECBD′=CE×CB=（4﹣ ）×3=12﹣3 ，

則S四邊形ACBD′=S△AED′+S矩形ECBD′= +12﹣3 =12﹣ ．

【解析】（1）矩形或正方形鄰角相等，滿足“等鄰角四邊形”條件；（2）AC=BD，理由為：連接PD，PC，如圖1所示，根據PE、PF分別為AD、BC的垂直平分線，得到兩對角相等，利用等角對等角得到兩對角相等，進而確定出∠APC=∠DPB，利用SAS得到三角形ACB與三角形DPB全等，利用全等三角形對應邊相等即可得證；（3）分兩種情況考慮：（i）當∠AD′B=∠D′BC時，延長AD′，CB交于點E，如圖3（i）所示，由S四邊形ACBD′=S△ACE﹣S△BED′ ， 求出四邊形ACBD′面積；（ii）當∠D′BC=∠ACB=90°時，過點D′作D′E⊥AC于點E，如圖3（ii）所示，由S四邊形ACBD′=S△AED′+S矩形ECBD′ ， 求出四邊形ACBD′面積即可．此題屬于幾何變換綜合題，涉及的知識有：全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，垂直平分線定理，等腰三角形性質，以及矩形的判定與性質，熟練掌握判定與性質是解本題的關鍵．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用等腰三角形的性質和相似三角形的判定與性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．