Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝x+2與x軸、y軸的交點分別為A、B，直線y＝﹣2x+12交x軸于C，兩條直線的交點為D；點P是線段DC上的一個動點，過點P作PE⊥x軸，交x軸于點E，連接BP；

（1）求△DAC的面積；

（2）在線段DC上是否存在一點P，使四邊形BOEP為矩形；若存在，寫出P點坐標；若不存在，說明理由；

（3）若四邊形BOEP的面積為S，設P點的坐標為（x，y），求出S關于x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）S△DAC＝20；（2）存在， 點P的坐標是（5，2）；（3）S＝﹣x2+7x（4≤x＜6）．

【解析】

（1）想辦法求出A、D、C三點坐標即可解決問題；

（2）存在．根據OB＝PE＝2，利用待定系數法即可解決問題；

（3）利用梯形的面積公式計算即可；

（1）當y＝0時， x+2=0，

∴x＝﹣4，點A坐標為（﹣4，0）

當y＝0時，﹣2x+12＝0，

∴x＝6，點C坐標為（6，0）

由題意，解得，

∴點D坐標為（4，4）

∴S△DAC＝×10×4＝20．

（2）存在，∵四邊形BOEP為矩形，

∴BO＝PE

當x＝0時，y＝2，點B坐標為（0，2），

把y＝2代入y＝﹣2x+12得到x＝5，

點P的坐標是（5，2）．

（3）∵S＝（OB+PE）OE

∴S＝（2﹣2x+12）x＝﹣x2+7x（4≤x＜6）．