Question

（2009•奉賢區一模）已知二次函數y=x²+bx+c的圖象經過x軸上點A（1，0）和點B（3，0），且與y軸相交于點C．
（1）求此二次函數的解析式及頂點P的坐標；
（2）求∠CPB的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）將點A（1，0）和點B（3，0）的坐標分別代入y=x²+bx+c，用待定系數法即可求得二次函數的解析式；再利用頂點公式求出其頂點坐標．
（2）首先根據二次函數的解析式求出點C的坐標，再分別計算PB、BC、PC的長度，然后由勾股定理的逆定理，知△PBC是直角三角形，最后根據正弦三角函數的定義求出∠CPB的正弦值．
解答：解：（1）∵二次函數y=x²+bx+c的圖象經過x軸上點A（1，0）和點B（3，0），
∴，
解得，
∴此二次函數的解析式為y=x²-4x+3．
∵-=2，=-1，
∴頂點P的坐標為（2，-1）．

（2）∵y=x²-4x+3，
∴當x=0時，y=3．
∴點C的坐標為（0，3）．
又∵點P的坐標為（2，-1），點B的坐標為（3，0），
∴PB==，
BC==3，
PC==2，
∴PB²+BC²=PC²，
∴∠PBC=90°，
∴sin∠CPB=．
點評：本題考查了用待定系數法求二次函數的解析式，求拋物線的頂點坐標的方法及正弦的定義．
在利用待定系數法求二次函數的關系式時，要根據題目給定的條件，選擇恰當的方法設出關系式，從而代入數值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或對稱軸時，常設其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解．
求拋物線的頂點坐標，可用頂點坐標公式，拋物線的頂點坐標為（-，）；也可以將解析式配方成頂點式來求．
在直角三角形中，一個銳角的正弦等于它的對邊比斜邊．