Question

如圖①，在平行四邊形ABCD中，AB=13，BC=50，BC邊上的高為12．點P從點B出發，沿B﹣A﹣D﹣A運動，沿B﹣A運動時的速度為每秒13個單位長度，沿A﹣D﹣A運動時的速度為每秒8個單位長度．點Q從點B出發沿BC方向運動，速度為每秒5個單位長度．P、Q兩點同時出發，當點Q到達點C時，P、Q兩點同時停止運動．設點P的運動時間為t（秒）．連結PQ．
（1）當點P沿A﹣D﹣A運動時，求AP的長（用含t的代數式表示）．
（2）連結AQ，在點P沿B﹣A﹣D運動過程中，當點P與點B、點A不重合時，記△APQ的面積為S．求S與t之間的函數關系式．
（3）過點Q作QR∥AB，交AD于點R，連結BR，如圖②．在點P沿B﹣A﹣D運動過程中，當線段PQ掃過的圖形（陰影部分）被線段BR分成面積相等的兩部分時t的值．
（4）設點C、D關于直線PQ的對稱點分別為C′、D′，直接寫出C′D′∥BC時t的值．

Answer 1

（1）當點P沿A﹣D運動時，AP=8（t﹣1）=8t﹣8．
當點P沿D﹣A運動時，AP=50×2﹣8（t﹣1）=108﹣8t．
（2）S=48t﹣48  （3）t=1或   （4）t=7，t=，t=

解：（1）當點P沿A﹣D運動時，AP=8（t﹣1）=8t﹣8．
當點P沿D﹣A運動時，AP=50×2﹣8（t﹣1）=108﹣8t．
（2）當點P與點A重合時，BP=AB，t=1．
當點P與點D重合時，AP=AD，8t﹣8=50，t=．
當0＜t＜1時，如圖①．

過點Q作QE⊥AB于E．
S_△ABQ==，
∴QE===．
∴S_△APQ=AP×EQ=(13-13t）×=﹣30t²+30t．
當1＜t≤時，如圖②．

S==，
∴S=48t﹣48；
（3）當點P與點R重合時，
AP=BQ，8t﹣8=5t，t=．
當0＜t≤1時，如圖③．

∵S_△BPM=S_△BQM，
∴PM=QM．
∵AB∥QR，
∴∠PBM=∠QRM，∠BPM=∠MQR，
在△BPM和△RQM中

∴△BPM≌△RQM．
∴BP=RQ，
∵RQ=AB，
∴BP=AB
∴13t=13，
解得：t=1
當1＜t≤時，如圖④．

∵BR平分陰影部分面積，
∴P與點R重合．
∴t=．
當＜t≤時，如圖⑤．

∵S_△ABR=S_△QBR，
∴S_△ABR＜S_{四邊形BQPR}．
∴BR不能把四邊形ABQP分成面積相等的兩部分．
綜上所述，當t=1或時，線段PQ掃過的圖形（陰影部分）被線段BR分成面積相等的兩部分．
（4）如圖⑥，當P在A﹣D之間或D﹣A之間時，C′D′在BC上方且C′D′∥BC時，

∴∠C′OQ=∠OQC．
∵△C′OQ≌△COQ，
∴∠C′OQ=∠COQ，
∴∠CQO=∠COQ，
∴QC=OC，
∴50﹣5t=50﹣8（t﹣1）+13，或50﹣5t=8（t﹣1）﹣50+13，
解得：t=7或t=．
當P在A﹣D之間或D﹣A之間，C′D′在BC下方且C′D′∥BC時，如圖⑦．

同理由菱形的性質可以得出：OD=PD，
∴50﹣5t+13=8（t﹣1）﹣50，
解得：t=．
∴當t=7，t=，t=時，點C、D關于直線PQ的對稱點分別為C′、D′，且C′D′∥BC．
（1）分情況討論，當點P沿A﹣D運動時，當點P沿D﹣A運動時分別可以表示出AP的值；
（2）分類討論，當0＜t＜1時，當1＜t＜時，根據三角形的面積公式分別求出S與t的函數關系式；
（3）分情況討論，當0＜t＜1時，當1＜t＜時，當＜t＜時，利用三角形的面積相等建立方程求出其解即可；
（4）分情況討論當P在A﹣D之間或D﹣A之間時，如圖⑥，根據軸對稱的性質可以知道四邊形QCOC′為菱形，根據其性質建立方程求出其解，當P在D﹣A之間如圖⑦，根據菱形的性質建立方程求出其解即可．