Question

【題目】已知：如下圖， AB∥CD ， 點E ， F分別為AB ， CD上一點.
（1）在AB ， CD之間有一點M（點M不在線段EF上），連接ME ， MF ， 試探究∠AEM ， ∠EMF ， ∠MFC之間有怎樣的數量關系. 請補全圖形，并在圖形下面寫出相應的數量關系，選其中一個進行證明.

（2）如下圖，在AB ， CD之間有兩點M ， N ， 連接ME ， MN ， NF ， 請選擇一個圖形寫出∠AEM ， ∠EMN ， ∠MNF ， ∠NFC 存在的數量關系（不需證明）.

Answer 1

【答案】
（1）

解：∠EMF＝∠AEM＋∠MFC.

證明：過點M作MP∥AB.

∵AB∥CD，

∴MP∥CD.

∴∠4＝∠3.

∵MP∥AB，

∴∠1＝∠2.

∵∠EMF＝∠2＋∠3，

∴∠EMF＝∠1＋∠4.

∴∠EMF＝∠AEM＋∠MFC.

∠AEM＋∠EMF＋∠MFC＝360°

證明：過點M作MQ∥AB.

∵AB∥CD，

∴MQ∥CD.

∴∠CFM＋∠1＝180°.

∵MQ∥AB，

∴∠AEM＋∠2＝180°.

∴∠CFM＋∠1+∠AEM＋∠2＝360°

∵∠EMF＝∠1＋∠2

∴∠AEM＋∠EMF＋∠MFC＝360°.

（2）

解：第一圖數量關系：∠EMN＋∠MNF－∠AEM－∠NFC＝180°.

第二圖數量關系：∠EMN－∠MNF＋∠AEM＋∠NFC＝180°.

【解析】(1)分點M在EF的左側和右側兩種情況，當點M在EF的左側時，如圖，∠EMF＝∠AEM＋∠MFC，過點M作MP∥AB，可得AB∥CD∥MP， 根據平行線的性質可得∠4＝∠3， ∠1＝∠2，即可證得∠EMF＝∠AEM＋∠MFC；當點M在EF的右側時，類比左側的方法即可證∠AEM＋∠EMF＋∠MFC＝360°；
（2）類比（1）的方法作平行線，利用平行線的性質即可解決.
【考點精析】本題主要考查了平行線的判定與性質的相關知識點，需要掌握由角的相等或互補（數量關系）的條件，得到兩條直線平行（位置關系）這是平行線的判定；由平行線（位置關系）得到有關角相等或互補（數量關系）的結論是平行線的性質才能正確解答此題．