Question

如圖1，已知AB是⊙O的直徑，AB垂直于弦CD，垂足為M，弦AE與CD交于F，則有結論AD²=AE•AF成立（不要求證明）．
（1）若將弦CD向下平移至與O相切B點時，如圖2，則AEAF是否等于AG²？如果不相等，請探求AE•AF等于哪兩條線段的積并給出證明；
（2）當CD繼續向下平移至與O相離時，如圖3，在（1）中探求的結論是否還成立？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用切線的性質和直徑所對的圓周角是直角可以得到角的關系證明△FAH∽△GAE，然后利用相似三角形的性質證明題目結論；
（2）利用直徑所對的圓周角是直角，和已知條件可以得到角的關系證明△FAH∽△GAE，然后利用相似三角形的性質就可以證明題目的結論．

解答：解：（1）∵AE，AF不等于AG²
∴AE•AF=AG•AH
連接BG，EG
∵AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的切線
∴∠ABF=∠AGB=90°
∴∠BAF+∠BFA=90°
∴∠AGE+∠BGE=90°
∴∠BAF+∠BFA=∠AGE+∠BGE
∵∠BAF=∠BGE
∴∠AFH=∠AGE
又∵∠FAH=∠GAE
∴△FAH∽△GAE
∴

AF

AG

=

AH

AE

，即AE•AF=AG•AH；

（2）（1）中探求的結論還成立．
證明：連接EG，BG
∵AB是⊙O的直徑，AM⊥CD
∴∠AMF=∠AGB=90°
∴∠AFM+∠FAM=∠AGE+∠BGE=90°
∵∠FAM=∠BGE
∴∠AFM=∠AGE
又∵∠AFH=∠GAE
∴△FAH∽△GAE
∴

AF

AG

=

AH

AE

∴AE•AF=AG•AH．

點評：此題利用了切線的性質，直徑所對的圓周角是直角，弦切角定理，相似三角形的性質與判定，綜合性比較強．