Question

【題目】如圖1，點P為∠MON的平分線上一點，以P為頂點的角的兩邊分別與射線OM，ON交于A，B兩點，如果∠APB繞點P旋轉時始終滿足OAOB＝OP2，我們就把∠APB叫做∠MON的智慧角．

（1）如圖2，已知∠MON＝90°，點P為∠MON的平分線上一點，以P為頂點的角的兩邊分別與射線OM，ON交于A，B兩點，且∠APB＝135°．求證：∠APB是∠MON的智慧角．

（2）如圖1，已知∠MON＝α（0°＜α＜90°），OP＝2．若∠APB是∠MON的智慧角，連結AB，用含α的式子分別表示∠APB的度數和△AOB的面積．

（3）如圖3，C是函數y＝（x＞0）圖象上的一個動點，過C的直線CD分別交x軸和y軸于A，B兩點，且滿足BC＝2CA，請求出∠AOB的智慧角∠APB的頂點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析 （2）∠APB＝180°﹣α，S△AOB＝2sinα （3）（，）或（，﹣）

【解析】

（1）由角平分線求出∠AOP＝∠BOP＝∠MON＝45°，再證出∠OAP＝∠OPB，證明△AOP∽△POB，得出對應邊成比例，得出OP2＝OAOB，即可得出結論；

（2）由∠APB是∠MON的智慧角，得出，證出△AOP∽△POB，得出對應角相等∠OAP＝∠OPB，即可得出∠APB＝180°﹣α；過點A作AH⊥OB于H，由三角形的面積公式得出：S△AOB＝OBAH，即可得出S△AOB＝2sinα；

（3）設點C（a，b），則ab＝3，過點C作CH⊥OA于H；分兩種情況：

①當點B在y軸正半軸上時；當點A在x軸的負半軸上時，BC＝2CA不可能；當得A在x軸的正半軸上時；先求出，由平行線得出△ACH∽△ABO，得出比例式：，得出OB＝3b，OA＝，求出OAOB＝，根據∠APB是∠AOB的智慧角，得出OP，即可得出點P的坐標；

②當點B在y軸的負半軸上時；由題意得出：AB＝CA，由AAS證明△ACH≌△ABO，得出OB＝CH＝b，OA＝AH＝a，得出OAOB＝，求出OP，即可得出點P的坐標．

（1）證明：∵∠MON＝90°，P為∠MON的平分線上一點，

∴∠AOP＝∠BOP＝∠MON＝45°，

∵∠AOP+∠OAP+∠APO＝180°，

∴∠OAP+∠APO＝135°，

∵∠APB＝135°，

∴∠APO+∠OPB＝135°，

∴∠OAP＝∠OPB，

∴△AOP∽△POB，

∴，

∴OP2＝OAOB，

∴∠APB是∠MON的智慧角；

（2）解：∵∠APB是∠MON的智慧角，

∴OAOB＝OP2，

∴，

∵P為∠MON的平分線上一點，

∴∠AOP＝∠BOP＝α，

∴△AOP∽△POB，

∴∠OAP＝∠OPB，

∴∠APB＝∠OPB+∠OPA＝∠OAP+∠OPA＝180°﹣α，

即∠APB＝180°﹣α；

過點A作AH⊥OB于H，連接AB；如圖1所示：

則S△AOB＝OBAH＝OBOAsinα＝OP2sinα，

∵OP＝2，

∴S△AOB＝2sinα；

（3）設點C（a，b），則ab＝3，過點C作CH⊥OA于H；分兩種情況：

①當點B在y軸正半軸上時；當點A在x軸的負半軸上時，如圖2所示：

BC＝2CA不可能；

當點A在x軸的正半軸上時，如圖3所示：

∵BC＝2CA，

∴，

∵CH∥OB，

∴△ACH∽△ABO，

∴，

∴OB＝3b，OA＝ ，

∴OAOB＝，

∵∠APB是∠AOB的智慧角，

∴OP＝，

∵∠AOB＝90°，OP平分∠AOB，

∴點P的坐標為：（，）；

②當點B在y軸的負半軸上時，如圖4所示：

∵BC＝2CA，

∴AB＝CA，

在△ACH和△ABO中，

，

∴△ACH≌△ABO（AAS），

∴OB＝CH＝b，OA＝AH＝a，

∴OAOB＝ab＝，

∵∠APB是∠AOB的智慧角，

∴OP＝，

∵∠AOB＝90°，OP平分∠AOB，

∴點P的坐標為：（，﹣）；

綜上所述：點P的坐標為：（，），或（，﹣）．