Question

閱讀材料：我們知道，若點A、B在數軸上分別表示有理數a、b，A、B兩點間的距離表示為AB．則AB=|a-b|．所以式子|x-3|的幾何意義是數軸上表示有理數3的點與表示有理數x的點之間的距離．根據上述材料，解答下列問題：
（1）若|x-3|=|x+1|，則x=

1

；
（2）式子|x-3|+|x+1|的最小值為

4

；
（3）請說出|x-3|+|x+1|=7所表示的幾何意義，并求出x的值．

Answer 1

分析：（1）根據絕對值的意義，可知|x-3|是數軸上表示數x的點與表示數3的點之間的距離，|x+1|是數軸上表示數x的點與表示數-1的點之間的距離，若|x-3|=|x+1|，則此點必在-1與3之間，故x-3＜0，x+1＞0，由此可得到關于x的方程，求出x的值即可；
（2）求|x-3|+|x+1|的最小值，由線段的性質，兩點之間，線段最短，可知當-1≤x≤3時，|x-3|+|x+1|有最小值．
（3）由于x-3及x+1的符號不能確定，故應分x＞3，-1≤x≤3，x＜-1三種情況解答．

解答：解：（1）根據絕對值的意義可知，此點必在-1與3之間，故x-3＜0，x+1＞0，
∴原式可化為3-x=x+1，
∴x=1；

（2）根據題意，可知當-1≤x≤3時，|x-3|+|x+1|有最小值．
∴|x-3|=3-x，|x+1|=x+1，
∴|x-3|+|x+1|=3-x+x+1=4；

（3）幾何意義：在數軸上與3和-1的距離和為7的點對應的x的值．
在數軸上3和-1的距離為4，則滿足方程的x的對應點在-1的左邊或3的右邊．
若x的對應點在-1的左邊，則x=-2.5；
若x的對應點在3的右邊，則x=4.5．
所以原方程的解是x=-2.5或x=4.5．
故答案為：1，4．

點評：本題考查的是絕對值的定義，解答此類問題時要用分類討論的思想．