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【題目】直線EF分別平行四邊形ABCDAB CD于點E、F,將圖形沿直線EF對折,點A、D分別落在點、A',D'處,

(1) 如圖1,當點A’與點C重合時,連接AF,求證:四邊形AECF是菱形:

(2)若∠A=60°,AD=4 AB=8,

①如圖2.當點A’與BC邊的中點G重合時,求AE的長;

②如圖3.當點A’落在BC邊上任意點時,設點P為直線EF上的動點,請直接寫出PC+PA’的最小值 ;

【答案】1)見解析;(2)①AE=;②

【解析】

(1)先證明四邊形AECF是平行四邊形,再由翻折得AF=CF,則四邊形AFCE是菱形;
(2)①如圖2中,作HABAB的延長線于H,首先求出GHBH,設AE=EG=x,在RtEGH中,根據構建方程即可解決問題;
②如圖3中,連接ACEF,連接CHABAB的延長線于H,因為A關于直線EF對稱,推出+C=A+C=AC,推出當點P重合時,P+PC的值最小,最小值=AC的長.

1)如圖1,連接AC,ACEFO,

∵四邊形ABCD是矩形,

ADBC,

∴∠OAE=OCF

在△OAE和△OCF中,

∴△OAE≌△OCF,

AE=CF

AECF,

∴四邊形AFCE是平行四邊形,

由翻折得AF=CF,

∴四邊形AFCE是菱形;

2)①如圖2,作HABAB的延長線于H,

RtGBH中,GB=2,∠GBH=60°

BH=,GH=,

AE=EG=x,

RtEGH中,,

解得x=,

AE=;

②如圖3,連接ACEF,連接CHABAB的延長線于H,

A關于直線EF對稱,

=A

+C=A+C=AC,

當點P重合時,P+PC的值最小,最小值=AC的長,

RtBCH中,BC=4,∠CBH=60°,

BH=2CH=,

AH=10,

RtACH中,AC=

P+PC的最小值為img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2020/07/22/03/1523d778/SYS202007220311032411941781_DA/SYS202007220311032411941781_DA.002.png" width="33" height="24" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />,

故答案為:.

練習冊系列答案
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