Question

（2013•攀枝花）如圖，拋物線y=ax²+bx+c經過點A（-3，0），B（1.0），C（0，-3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點P為第三象限內拋物線上的一點，設△PAC的面積為S，求S的最大值并求出此時點P的坐標；
（3）設拋物線的頂點為D，DE⊥x軸于點E，在y軸上是否存在點M，使得△ADM是直角三角形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知拋物線上的三點坐標，利用待定系數法可求出該二次函數的解析式；
（2）過點P作x軸的垂線，交AC于點N，先運用待定系數法求出直線AC的解析式，設P點坐標為（x，x²+2x-3），根據AC的解析式表示出點N的坐標，再根據S_△PAC=S_△PAN+S_△PCN就可以表示出△PAC的面積，運用頂點式就可以求出結論；
（3）分三種情況進行討論：①以A為直角頂點；②以D為直角頂點；③以M為直角頂點；設點M的坐標為（0，t），根據勾股定理列出方程，求出t的值即可．

解答：解：（1）由于拋物線y=ax²+bx+c經過A（-3，0），B（1，0），可設拋物線的解析式為：y=a（x+3）（x-1），
將C點坐標（0，-3）代入，得：
a（0+3）（0-1）=-3，解得 a=1，
則y=（x+3）（x-1）=x²+2x-3，
所以拋物線的解析式為：y=x²+2x-3；

（2）過點P作x軸的垂線，交AC于點N．
設直線AC的解析式為y=kx+m，由題意，得

-3k+m=0 m=-3

，解得

k=-1 m=-3

，
∴直線AC的解析式為：y=-x-3．
設P點坐標為（x，x²+2x-3），則點N的坐標為（x，-x-3），
∴PN=PE-NE=-（x²+2x-3）+（-x-3）=-x²-3x．
∵S_△PAC=S_△PAN+S_△PCN，
∴S=

1

2

PN•OA
=

1

2

×3（-x²-3x）
=-

3

2

（x+

3

2

）²+

27

8

，
∴當x=-

3

2

時，S有最大值

27

8

，此時點P的坐標為（-

3

2

，-

15

4

）；

（3）在y軸上是存在點M，能夠使得△ADM是直角三角形．理由如下：
∵y=x²+2x-3=y=（x+1）²-4，
∴頂點D的坐標為（-1，-4），
∵A（-3，0），
∴AD²=（-1+3）²+（-4-0）²=20．
設點M的坐標為（0，t），分三種情況進行討論：
①當A為直角頂點時，如圖3①，
由勾股定理，得AM²+AD²=DM²，即（0+3）²+（t-0）²+20=（0+1）²+（t+4）²，
解得t=

3

2

，
所以點M的坐標為（0，

3

2

）；
②當D為直角頂點時，如圖3②，
由勾股定理，得DM²+AD²=AM²，即（0+1）²+（t+4）²+20=（0+3）²+（t-0）²，
解得t=-

7

2

，
所以點M的坐標為（0，-

7

2

）；
③當M為直角頂點時，如圖3③，
由勾股定理，得AM²+DM²=AD²，即（0+3）²+（t-0）²+（0+1）²+（t+4）²=20，
解得t=-1或-3，
所以點M的坐標為（0，-1）或（0，-3）；
綜上可知，在y軸上存在點M，能夠使得△ADM是直角三角形，此時點M的坐標為（0，

3

2

）或（0，-

7

2

）或（0，-1）或（0，-3）．

點評：本題考查的是二次函數綜合題，涉及到用待定系數法求一次函數、二次函數的解析式，三角形的面積，二次函數的頂點式的運用，勾股定理等知識，難度適中．運用數形結合、分類討論及方程思想是解題的關鍵．