Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3cm，點D為AC邊上一點（不與點A、C重合），以CD為邊，在三角形內作矩形CDEF，在三角形外作正方形CDMN，且頂點E、F分別在邊AB、BC上，連接CE．設AD的長為xcm，矩形EFMN的面積為y1cm2，△ACE的面積為y2cm2

（1）填空：y1與x的函數關系式是　 　，y2與x的函數關系式是　 　，自變量x的取值范圍是　 　；

（2）在平面直角坐標系中，畫出這兩個函數的圖象；

（3）結合畫出的函數圖象，解決問題：當矩形EFNM的面積小于△ACE的面積時，x的取值范圍是　 　．

Answer 1

【答案】（1）y1＝﹣3x+9，y2＝x，0＜x＜3；（2）見解析；（3）2＜x＜3

【解析】

（1）證出△ADE是等腰直角三角形，得出DE＝AD＝x，求出CD＝AC﹣AD＝3﹣x，由正方形的性質得出MN＝DN＝CD＝3﹣x，EN＝AC＝3，由矩形和三角形面積公式即可得出y1＝﹣3x+9，y2＝x；自變量x的取值范圍是0＜x＜3；

（2）由函數關系式和自變量的取值范圍畫出圖象即可；

（3）求出兩函數交點，結合圖象即可得出答案．

解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴∠A＝45°，

∵四邊形CDEF是矩形，

∴∠CDE＝90°，

∴∠ADE＝90°，

∴△ADE是等腰直角三角形，

∴DE＝AD＝x，

∴CD＝AC﹣AD＝3﹣x，

∵四邊形CDMN是正方形，

∴MN＝DN＝CD＝3﹣x，

∴EN＝AC＝3，

∴矩形EFMN的面積為y1＝EN×MN＝3（3﹣x）＝﹣3x+9，即y1＝﹣3x+9；

△ACE的面積為y2＝AC×DE＝×3x＝x；即y2＝x；

自變量x的取值范圍是0＜x＜3；

故答案為：y1＝﹣3x+9，y2＝x，0＜x＜3；

（2）兩個函數的圖象是不包括兩個端點的線段，如圖所示：

（3）令y1＝y2，﹣3x+9＝x解得x=2

由圖象可知，當矩形EFNM的面積小于△ACE的面積時，x的取值范圍是2＜x＜3；

故答案為：2＜x＜3．