Question

（2013•南充）如圖，二次函數y=x²+bx-3b+3的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左邊），交y軸于點C，且經過點（b-2，2b²-5b-1）．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）⊙M過A，B，C三點，交y軸于另一點D，求點M的坐標；
（3）連接AM，DM，將∠AMD繞點M順時針旋轉，兩邊MA，MD與x軸，y軸分別交于點E，F．若△DMF為等腰三角形，求點E的坐標．

Answer 1

分析：（1）將點（b-2，2b²-5b-1）代入拋物線解析式，求出未知數，從而得到拋物線的解析式；
（2）利用垂徑定理及勾股定理，求出點M的坐標；
（3）首先，證明△AME≌△DMF，從而將“△DMF為等腰三角形”的問題，轉化為“△AME為等腰三角形”的問題；其次，△AME為等腰三角形，可能有三種情形，需要分類討論，逐一分析計算．

解答：解：（1）把點（b-2，2b²-5b-1）代入拋物線解析式，得：
2b²-5b-1=（b-2）²+b（b-2）-3b+3
解得b=2，
故拋物線解析式為y=x²+2x-3．

（2）由x²+2x-3=0，得x=-3或x=1，
∴A（-3，0），B（1，0），C（0，-3）．
拋物線的對稱軸為直線x=-1，圓心M在直線x=-1上，
∴設M（-1，n），作MG⊥x軸于點G，MH⊥y軸于點H，連接MC，MB．
∴MH=1，BG=2．
∵MB=MC，∴BG²+MG²=MH²+CH²，
∴4+n²=1+（3+n）²
解得n=-1，
∴點M（-1，-1）．


（3）如圖，由M（-1，-1），得MG=MH．
∵MA=MD，
∴Rt△AMG≌Rt△DMH，∴∠1=∠2．
由旋轉可知∠3=∠4，
∴△AME≌△DMF．
若△DMF為等腰三角形，則△AME必為等腰三角形．
設E（x，0），△AME為等腰三角形，分三種情況：
①AE=AM=

5

，則x=

5

-3，∴E（

5

-3，0）；
②∵點M在AB的垂直平分線上，
∴MA=ME=MB，∴E（1，0）；
③點E在AM的垂直平分線上，則AE=ME．
AE=x+3，ME²=MG²+EG²=1+（-1-x）²
∴（x+3）²=1+（-1-x）²
解得：x=-

7

4

，∴E（-

7

4

，0）．
∴所求點E的坐標為（

5

-3，0），（1，0），（-

7

4

，0）．

點評：本題是二次函數綜合題型，考查了二次函數的圖象與性質、垂徑定理、勾股定理、等腰三角形、全等三角形、旋轉等知識點，是代數與幾何的綜合題．第（3）問中，注意轉化思想以及分類討論思想的運用．