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已知在矩形ABCD中,AD>AB,O為對角線的交點,過O作一直線分別交BC、AD于M、N.
(1)如圖①,求證:梯形ABMN的面積等于梯形CDNM的面積;
(2)如圖②,若矩形ABCD沿MN折疊,能使得點C與點A重合,且翻折后不重疊部分的面積是重疊部分的面積的
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,求BM:MC的值;
(3)矩形ABCD沿MN折疊,當MN滿足
 
時,才能使得點C恰好與點A重合(只寫出結果,不要求證明).
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分析:(1)連接AC,根據矩形的對角線互相平分可得AO=CO,再根據兩直線平行,內錯角相等可得∠MCO=∠ANO,然后利用“角邊角”證明△AON和△COM全等,根據全等三角形對應邊相等可得AN=CM,再求出BM=DN,然后根據梯形的面積公式證明即可;
(2)連接AM,根據翻折的性質可得AM=MC,AD′=CD,∠AMN=∠CMN,再根據兩直線平行,內錯角相等可得∠ANM=∠CMN,然后求出∠AMN=∠ANM,根據等角對等邊可得AM=AN,利用“HL”證明△ABM和△AD′N全等,根據全等三角形的面積相等可得S△AD′N=S△ABM,再根據三角形的面積求出BM=
1
2
AN,然后求解即可;
(3)根據翻折的性質,MN與AC互相垂直時點C與A重合.
解答:(1)證明:如圖,連接AC,∵O為對角線的交點,
∴AO=CO,
∵矩形ABCD的邊AD∥BC,
∴∠MCO=∠ANO,
在△AON和△COM中,
∠MCO=∠ANO
AO=CO
∠AON=∠COM
,
∴△AON≌△COM(ASA),
∴AN=CM,
∵AD=BC,
AN+DN=AD,BM+CM=BC,
∴BM=DN,
∵梯形ABMN的面積=
1
2
(AN+BM)•AB,
梯形CDNM的面積=
1
2
(DN+CM)•CD,精英家教網
∴梯形ABMN的面積等于梯形CDNM的面積;

(2)如圖,連接AM,∵矩形ABCD沿MN折疊,點C與點A重合,
∴AM=MC,AD′=CD,∠AMN=∠CMN,
∵AD∥BC,
∴∠ANM=∠CMN,
∴∠AMN=∠ANM,
∴AM=AN,
在△ABM和△AD′N中,
AM=AN
AB=AD′
,
∴△ABM≌△AD′N(HL),
∴S△AD′N=S△ABM,
∵翻折后不重疊部分的面積是重疊部分的面積的
1
2
,
1
2
AB•BM=
1
2
×
1
2
AN•AB,
∴BM=
1
2
AN,
∵AM=MC=AN,
∴BM:MC=1:2;

(3)當MN滿足MN⊥AC時,才能使得點C恰好與點A重合.
故答案為:MN⊥AC.
點評:本題考查了翻折變換的性質,全等三角形的判定與性質,矩形的性質,等角對等邊的性質,以及平行線的性質,熟記翻折前后的兩個圖形能夠完全重合得到相等的邊和角是解題的關鍵.
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如圖,已知在矩形ABCD中,AD=8,CD=4,點E從點D出發,沿線段DA以每秒1個單位長的速度向點A方向移動,同時點F從點C出發,沿射線CD方向以每秒2個單位長的速度移動,當B精英家教網,E,F三點共線時,兩點同時停止運動.設點E移動的時間為t(秒).
(1)求當t為何值時,兩點同時停止運動;
(2)設四邊形BCFE的面積為S,求S與t之間的函數關系式,并寫出t的取值范圍;
(3)求當t為何值時,以E,F,C三點為頂點的三角形是等腰三角形;
(4)求當t為何值時,∠BEC=∠BFC.

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科目:初中數學 來源: 題型:

已知在矩形ABCD中,AB=4,BC=
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2
,O為BC上一點,BO=
7
2
,如圖所示,以BC所在直線為x軸,O為坐標原點建立平面直角坐標系,M為線段OC上的一點.
(1)若點M的坐標為(1,0),如圖①,以OM為一邊作等腰△OMP,使點P在矩形ABCD的一邊上,則符合條件的等腰三角形有幾個?請直接寫出所有符合條件的點P的坐標;
(2)若將(1)中的點M的坐標改為(4,0),其它條件不變,如圖②,那么符合條件的等腰三角形有幾個?求出所有符合條件的點P的坐標;
(3)若將(1)中的點M的坐標改為(5,0),其它條件不變,如圖③,請直接寫出符合條件的等腰三角形有幾個.(不必求出點P的坐標)
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已知在矩形ABCD中,AC=12,∠ACB=15°,那么頂點D到AC的距離為
 

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(2012•德慶縣一模)如圖,已知在矩形ABCD中,E是AD上的一點,連接EC,BC=CE,BF⊥EC于點F.
求證:△ABE≌△FBE.

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如圖,已知在矩形ABCD中,AD=8cm,CD=4cm,點E從點D出發,沿線段DA以每秒1cm的速度向點A方向移動,同時點F從點C出發,沿射線CD方向以每秒2cm的速度移動,當B、E、F三點共線時,兩點同時停止運動.設點E移動的時間為t(秒),
(1)求證:△BCF∽△CDE;
(2)求t的取值范圍;
(3)連接BE,當t為何值時,∠BEC=∠BFC?

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