Question

（2009•太原二模）已知，在△ABC中，AB=AC，在圖（1）中，點O是△ABC內的任意一點，而在圖（2）中，點O是△ABC外的任意一點．在兩圖中，分別以OB，OC為邊畫出平行四邊形OBDC，連接并延長OA到E，使得AE=OA，再連接DE．觀察兩圖，寫出與線段DE有關的兩個猜想，并在其中的一個圖形中給出證明．（要求：在猜想中不能出現已知中未標的字母．）

Answer 1

【答案】分析：在連接OD、AF后，根據平行四邊形的性質，F點就是OD的中點，AF就是等腰三角形底邊上的高，由OA=AE知，AF連線時三角形OED的中位線，根據中位線性質可得DE⊥BC以及DE的長是△ABC底邊BC上高的2倍．
解答：解：猜想1：DE⊥BC；
猜想2：DE的長是△ABC底邊BC上高的2倍．

證明：（1）連接OD交BC于點F，連接AF，
∵四邊形OBDC為平行四邊形，
∴BF=CF，
∵AB=AC，
∴AF⊥BC，
∵OA=AE，OF=DF，
∴AF∥DE，
∴DE⊥BC；
證明：在圖（2）中，連接OD交BC于點F，連接AF，
∵四邊形OBDC為平行四邊形，
∴BF=CF，OF=DF，
∵AB=AC，
∴AF⊥BC，
∵AE=OA，
∴，AF∥DE，
∴DE⊥BC，DE=2AF，
即DE⊥BC，DE的長是△ABC底邊BC上高的2倍．
點評：此題在考查平行四邊形性質的同時，更重要的是考查了三角形中位線的性質和應用，難易適中．