Question

已知拋物線y=ax²-（a+c）x+c（其中a≠c且a≠0）．
（1）求此拋物線與x軸的交點坐標；（用a，c的代數式表示）
（2）若經過此拋物線頂點A的直線y=-x+k與此拋物線的另一個交點為B（，-c），求此拋物線的解析式；
（3）點P在（2）中x軸上方的拋物線上，直線y=-x+k與 y軸的交點為C，若tan∠POB=tan∠POC，求點P的坐標；
（4）若（2）中的二次函數的自變量x在n≤x＜n+1（n為正整數）的范圍內取值時，記它的整數函數值的個數為N，則N關于n的函數關系式為______．

Answer 1

解：（1）拋物線y=ax²-（a+c）x+c與x軸交點的橫坐標是關于x的方程ax²-（a+c）x+c=0（其中a≠0，a≠c）的解．
解得x₁=1，．
∴拋物線與x軸交點的坐標為（1，0），

（2）拋物線y=ax²-（a+c）x+c的頂點A的坐標為．
∵經過此拋物線頂點A的直線y=-x+k與此拋物線的另一個交點為，
∴
由③得c=0．
將其代入①、②得
解得a=-2．
∴所求拋物線的解析式為y=-2x²+2x．

（3）作PE⊥x軸于點E，PF⊥y軸于點F．（如圖）
拋物線y=-2x²+2x的頂點A的坐標，
點B的坐標為（1，0），點C的坐標為（0，1）．
設點P的坐標為（m，n）．
∵點P在x軸上方的拋物線y=-2x²+2x上，
∴n=-2m²+2m，且0＜m＜1，．
∴，．
∵，
∴m²=4n²．
解得m=2n，或m=-2n（舍去）．
將m=2n代入n=-2m²+2m，得8n²-3n=0．
解得，n₂=0（舍去）．
∴．
∴點P的坐標為．

（4）N關于n的函數關系式為N=4n．
說明：二次函數y=-2x²+2x的自變量x在n≤x＜n+1（n為正整數）的范圍內取值，此時y隨x的增大而減小，
∴-2n²-2n＜y≤-2n²+2n，
其中的整數有-2n²-2n+1，-2n²-2n+2，-2n²+2n．N=（-2n²+2n）-（-2n²-2n）=4n．
分析：（1）利用二次函數與x軸相交y=0，即可解決．
（2）首先表示出二次函數的頂點坐標，利用待定系數法求出．
（3）作PE⊥x軸于點E，PF⊥y軸于點F，利用三角函數關系解決．
（4）借助自變量的取值范圍，代入二次函數解析式，即可解決．
點評：此題主要考查了二次函數與x軸的交點坐標，以及二次函數頂點坐標的表示方法，二次函數解析式的求法等，綜合性比較強．