Question

如圖，△ABC內接于⊙O，且AB=AC，直徑AD交BC于點E，F是OE的中點．
（1）如果BD∥CF，求證：AE=5DE；
（2）在（1）的條件下，若BC=，求線段CD的長度．

Answer 1

解：（1）∵AD是⊙O直徑，
∴∠ABD=∠ACD=90°．
又AB=AC，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD，
∴BD=CD．
由垂徑定理可得：BE=CE，且BC⊥AD．
∵BD∥CF，
∴△BDE≌△CFE，
∴CF=BD=CD．
又BC⊥AD，
∴E是DF中點，
又F是OE中點，
∴OF=FE=ED=，即AE=5DE．

（2）∵BC=，由（1）知BE=CE=，
由△CDE∽△ACE，可得CE²=DE×AE，
∴DE=1，AE=5
由△CDE∽△ACD，可得
CD²=DE×AD，即CD²=6，
∴．
分析：（1）首先根據HL證明△ABD≌△ACD，得BD=CD，根據垂徑定理，得BE=CE，且BC⊥AD，根據平行，得內錯角相等，從而根據ASA證明△BDE≌△CFE，得DE=EF，從而證明結論；
（2）根據△CDE∽△ACE，結合（1）的結論即可求解．
點評：此題綜合運用了全等三角形的判定和性質、垂徑定理、相似三角形的判定和性質．