Question

如圖，梯形OABC中，O為直角坐標系的原點，A、B、C的坐標分別為
（14，0）、（14，3）、（4，3）．點P、Q同時從原點出發，分別作勻速運動，點P沿OA以每秒1個單位向終點A運動，點Q沿OC、CB以每秒2個單位向終點B運動．當這兩點中有一點到達自己的終點時，另一點也停止運動．
（1）設從出發起運動了x秒，當x等于多少時，四邊形OPQC為平行四邊形？
（2）四邊形OPQC能否成為等腰梯形？說明理由．

Answer 1

分析：（1）由A、B、C的坐標分別為（14，0）、（14，3）、（4，3）．可得OC=

32+42

=5，BC=14-4=10，OA=14，又由當點Q在BC上，且OP=CQ時，四邊形OPQC為平行四邊形，即可得方程：2x-5=x，解此方程即可求得答案；
（2）首先過點C作CE⊥OA于點E，過點Q作QF⊥OP于點F，由當OP=CQ+OE+OF時，四邊形OPQC成為等腰梯形，即可得方程：x=4+（2x-5）+4，解此方程即可求得答案．

解答：解：（1）∵A、B、C的坐標分別為（14，0）、（14，3）、（4，3）．
∴OC=

32+42

=5，BC=14-4=10，OA=14，
∵BC∥OA，
∴當點Q在BC上，且OP=CQ時，四邊形OPQC為平行四邊形，
∴2x-5=x，
解得x=5；
∴當x等于5時，四邊形OPQC為平行四邊形；

（3）不能，
理由：過點C作CE⊥OA于點E，過點Q作QF⊥OP于點F，
∵AO∥BC，
∴CE=QF，
當OE=PF=4時，△OCE≌△PQF（SAS），
此時四邊形OPQC成為等腰梯形，
即OP=CQ+OE+OF，
∴x=4+（2x-5）+4，
解得x=-3（舍去），
∴四邊形OPQC不能成為等腰梯形．

點評：此題考查了梯形的性質、平行四邊形的判定與性質以及等腰梯形的判定與性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想與方程思想的應用．