Question

【題目】已知一元二次方程的一根為．

求關于的函數關系式；

求證：拋物線與軸有兩個交點；

設拋物線與軸交于、兩點（、不重合），且以為直徑的圓正好經過該拋物線的頂點，求，的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）或．

【解析】

（1）把x=2直接代入一元二次方程x2+px+q+1=0中即可得到q關于p的函數關系式；
（2）利用（1）的結論證明拋物線y=x2+px+q的判別式是正數就可以了；
（3）首先求出方程x2+px+q+1=0的兩根，然后用p表示AB的長度，表示拋物線頂點坐標，再利用以AB為直徑的圓正好經過該拋物線的頂點可以得到關于p的方程，解方程即可求出p．

解：由題意得，即；

證明：∵一元二次方程的判別式，

由得，

∴一元二次方程有兩個不相等的實根，

∴拋物線與軸有兩個交點；

解：由題意，，

解此方程得，，

∴或，

∵的頂點坐標是．

以為直徑的圓經過頂點，或．

解得或，

∴或．