Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，橫、縱坐標都是整數的點叫做整點．直線y＝ax與拋物線y＝ax2﹣2ax﹣1（a≠0）圍成的封閉區域（不包含邊界）為W．

（1）求拋物線頂點坐標（用含a的式子表示）；

（2）當a＝時，寫出區域W內的所有整點坐標；

（3）若區域W內有3個整點，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（1，﹣a﹣1）；（2）（1，0）、（2，0）、（3，1）、（1，﹣1）；（3）區域W內有3個整點，a的取值范圍為：a＝或﹣≤a＜﹣1

【解析】

（1）將拋物線化成頂點式表達式即可求解；

（2）概略畫出直線y＝x和拋物線y＝x2﹣x﹣1的圖象，通過觀察圖象即可求解；

（3）分a＞0、a＜0兩種情況，結合（2）的結論，逐次探究即可求解．

解：（1）y＝ax2﹣2ax﹣1＝a（x﹣1）2﹣a﹣1，

故頂點的坐標為：（1，﹣a﹣1）；

（2）a＝時，概略畫出直線y＝x和拋物線y＝x2﹣x﹣1的圖象如下：

從圖中看，W區域整點為如圖所示4個黑點的位置，

其坐標為：（1，0）、（2，0）、（3，1）、（1，﹣1）；

（3）①當a＞0時，

由（2）知，當a＝時，區域W內的所有整點數有4個；

參考（2）可得：當a＞時，區域W內的所有整點數多于3個；

當a時，區域W內的所有整點數有4個；

同理當a＝時，區域W內的所有整點數有3個；

當0＜a＜時，區域W內的所有整點數多于3個；

②當a＜0時，

當﹣1≤a＜0時，區域W內的所有整點數為0個；

當a＜﹣時，區域W內的所有整點數多于3個；

∴區域W內有3個整點時，a的取值范圍為：﹣≤a＜﹣1，

綜上，區域W內有3個整點，a的取值范圍為：a＝或﹣≤a＜﹣1．