【題目】(1)如圖1,在△ABC中,∠A<90°,P是BC邊上的一點,P1,P2是點P關于AB、AC的對稱點,連結P1P2,分別交AB、AC于點D、E.
(1)若∠A=52°,求∠DPE的度數;
(2)如圖2,在△ABC中,若∠BAC=90°,用三角板作出點P關于AB、AC的對稱點P1、P2,(不寫作法,保留作圖痕跡),試判斷點P1,P2與點A是否在同一直線上,并說明理由.
【答案】(1)∠DPE=76°;(2)詳見解析.
【解析】
(1)利用軸對稱的性質證明:∠DPP1+∠EPP2=∠A,根據∠DPE=180°-(∠PDE+∠DEF)計算即可;
(2)點P1,P2與點A在同一條直線上.證明∠PAP1+∠PAP2=180°即可.
解:(1)∵P1,P2是點P關于AB、AC的對稱點,
∴PD=P1D,PE=P2E,
∴∠EDP=2∠DPP1,∠DEP=2∠EPP2,
∵∠DPP1+∠DPE+∠EPP2+∠A=180°①,
2∠DPP1+∠DPE+2∠EPP2=180°②
②-①得:∠DPP1+∠EPP2=∠A,
∵∠A=52°,
∴∠DPP1+∠EPP2=52°,
∴∠DPE=180°-(∠PDE+∠DEF)
=180°-2(∠DPP1+∠EPP2)
=180°-104°=76°.
(2)點P1,P2與點A在同一條直線上.
理由如下:連接AP,AP1,AP2.
根據軸對稱的性質,可得∠4=∠1,∠3=∠2,
∵∠BAC=90°,即∠1+∠2=90°,
∴∠3+∠4=90°,
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°,即∠P1AP2=180°,
∴點P1,P2與點A在同一條直線上.
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【題目】如圖,用大小相同的小正方體從左至右擺放成幾何體,若小正方體的棱長為1cm,則第①個幾何體的表面積為6cm2,第②個幾何體的表面積為18cm2,第③個幾何體的表面積為36cm2,第④個幾何體的表面積為60cm2,…,按照這樣的規律,第n個幾何體的表面積為________cm2.
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【題目】“某工廠用如圖甲所示的長方形和正方形紙板做成如圖乙所示的 A、B 兩種長方體形狀的無蓋紙盒.現 有正方形紙板 120 張,長方形紙板 360 張,剛好全部用完,問能做成多少個 A 型盒子?”則下列結論 正確的個數是( )
①甲同學:設 A 型盒子個數為 x 個,根據題意可得: 4x 3 360
②乙同學:設 B 型盒中正方形紙板的個數為 m 個,根據題意可得: 3 4(120 m) 360
③A 型盒 72 個
④B 型盒中正方形紙板 48 個
A.1B.2C.3D.4
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【題目】對于一個圖形,通過兩種不同的方法計算它們的面積,可以得到一個數學等式,例如圖1可以得到
(1)類似圖1的數學等式,寫出圖2表示的數學等式;
(2)若,
,用上面得到的數學等式乘
的值;
(3)小明同學用圖3中的張邊長為
的正方形,
張邊長為
的正方形,z張邊長為
、
的長方形拼出一個面積為
的長方形,求
的值.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠B>90°,CD為∠ACB的角平分線,在AC邊上取點E,使DE=DB,且∠AED>90°.若∠A=α,∠ACB=β,則( )
A.∠AED=180°﹣α﹣βB.∠AED=180°﹣α﹣β
C.∠AED=90°﹣α+βD.∠AED=90°+α+β
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【題目】 根據題意,完成推理填空:如圖,AB∥CD,∠1=∠2,試說明∠B=∠D.
解:∵∠1=∠2(已知)
∴ (內錯角相等,兩直線平行)
∴∠BAD+∠B=180°(兩直線平行,同旁內角互補)
∵AB∥CD
∴ + =180°,
∴∠B=∠D
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【題目】(2017湖南株洲)如圖示,若△ABC內一點P滿足∠PAC=∠PBA=∠PCB,則點P為△ABC的布洛卡點.三角形的布洛卡點(Brocard point)是法國數學家和數學教育家克洛爾(A.L.Crelle 1780﹣1855)于1816年首次發現,但他的發現并未被當時的人們所注意,1875年,布洛卡點被一個數學愛好者法國軍官布洛卡(Brocard 1845﹣1922)重新發現,并用他的名字命名.問題:已知在等腰直角三角形DEF中,∠EDF=90°,若點Q為△DEF的布洛卡點,DQ=1,則EQ+FQ=( )
A. 5 B. 4 C. 3+ D. 2+
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【題目】我們已經知道,有一個內角是直角的三角形是直角三角形.其中直角所在的兩條邊叫直角邊,直角所對的邊叫斜邊(如圖①所示).數學家已發現在一個直角三角形中,兩個直角邊邊長的平方和等于斜邊長的平方.如果設直角三角形的兩條直角邊長度分別是a和b,斜邊長度是c,那么可以用數學語言表達:a2+b2=c2.已知,如圖,在長方形ABCD中,AB=4,AD=6.延長BC到點E,使CE=3,連接DE.
(1)DE的長為 .
(2)動點P從點B出發,以每秒1個單位的速度沿BC﹣CD﹣DA向終點A運動,設點P運動的時間為t秒,求當t為何值時,△ABP和△DCE全等?
(3)若動點P從點B出發,以每秒1個單位的速度僅沿著BE向終點E運動,連接DP.設點P運動的時間為t秒,是否存在t,使△PDE為等腰三角形?若存在,請直接寫出t的值;否則,說明理由.
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