Question

20．如圖，在△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，⊙O與BC邊及AB，AC的延長線相切，則⊙O的半徑為2．

Answer 1

分析 先連接OD、OE，根據⊙O與△ABC中AB、AC的延長線及BC邊相切，得出AF=AD，BE=BF，CE=CD，再根據OD⊥AD，OE⊥BC，∠ACB=90°，得出四邊形ODCE是正方形，最后設OD=r，列出5+3-r=4+r，求出r=2即可．

解答 解：如圖設切點分別為E、F、D，連接OD、OE，
∵⊙O與△ABC中AB、AC的延長線及BC邊相切，
∴AF=AD，BE=BF，CE=CD，
OD⊥AD，OE⊥BC，
∵∠ACB=90°，
∴四邊形ODCE是正方形，
設OD=r，則CD=CE=r，
∵BC=3，
∴BE=BF=3-r，
∵AB=5，AC=4，
∴AF=AB+BF=5+3-r，
AD=AC+CD=4+r，
∴5+3-r=4+r，
r=2，
則⊙O的半徑是2．
故答案為：2．

點評 此題考查了切線長定理、正方形的性質、圓的性質等，解題的關鍵是設出圓的半徑，列出關于圓的半徑的方程，用方程的思想解決問題．