Question

  如圖，邊長為4的等邊三角形AOB的頂點O在坐標原點，點A在x軸正半軸上，點B在第一象限．一動點P沿x軸以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動，當點P到達點A時停止運動，設點P運動的時間是t秒．將線段BP的中點繞點P按順時針方向旋轉60°得點C，點C隨點P的運動而運動，連接CP、CA，過點P作PD⊥OB于點D．

（1）填空：PD的長為               （用含t的代數式表示）；
（2）求點C的坐標（用含t的代數式表示）；
（3）在點P從O向A運動的過程中，△PCA能否成為直角三角形？若能，求t的值．若不能，請說明理由；
（4）填空：在點P從O向A運動的過程中，點C運動路線的長為                            

Answer 1

（1）∵△AOB是等邊三角形，

∴OB=OA=AB=4，∠BOA=∠OAB=∠ABO=60°．
∵PD⊥OB，∴∠PDO=90°，∴∠OPD=30°，∴OD=OP．∵OP=t，∴OD=t，在Rt△OPD中，由勾股定理，得PD= 
（2）如圖（1）過C作CE⊥OA于E，∴∠PEC=90°，
∵OD=t，∴BD=4-t．
∵線段BP的中點繞點P按順時針方向旋轉60°得點C，
∴∠BPC=60°．∵∠OPD=30°，
∴∠BPD+∠CPE=90°．∴∠DBP=∠CPE
∴△PCE∽△BPD
∴，
∴，，
∴CE=，PE=，OE=，∴C（，）．
（3）如圖（3）當∠PCA=90度時，作CF⊥PA，∴△PCF∽△ACF，∴，∴CF2=PF•AF，
∵PF=，AF=4-OF=2- CF=，
∴（）2=（）（2-），
求得t=2，這時P是OA的中點．
如圖（2）當∠CAP=90°時，C的橫坐標就是4，
∴2+=4∴t=
（4）設C（x，y），
∴x=2+，y=，∴y=x-，
∴C點的運動痕跡是一條線段．當t=0時，C1（2，0），當t=4時，C2（5，），∴由兩點間的距離公式得：C₁C₂=2．

此題考核相似三角形的判定和性質，旋轉的性質