Question

【題目】如圖，拋物線分別交x軸于點A，B（點A在點B的左側），交y軸于點C，D為線段AB上一點，連接CD，作點B關于CD的對稱點B′,連接AB′，B′D .

（1）求點A，B的坐標.

（2）當點B′落坐標軸上時，求點D的坐標.

（3）在點D的運動過程中，△AB′D 的內角能否等于45°，若能，求此時點B′的坐標；若不能，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）A(-2,0) , B(3,0) （2）B’在以C為圓心，CB為半徑的圓C上；（3）① ②（）③（ ）

【解析】分析：（1）令y=0，可求得x的值，從而可確定A、B兩點坐標；

（2）分兩種情況進行討論：①當B’點落在x軸上，②當B’點落在y軸上，利用對稱性求解即可；

（3）如圖，分三種情況進行求解.

詳解（1）由y=0解得x1=-2，x2=3,

∴ A(-2,0) , B(3,0)

（2）B’在以C為圓心，CB為半徑的圓C上；

①當B’點落在x軸上時，D(0,0)；

②當B’點落在y軸上時，如圖1，CB’=CB=,

∵∠OB’D=45°

∴OD=OB’=-3

∴ D()

圖1 圖2 圖3 圖4

（3）①∠B’DA=45°時，如圖1，OB’=-3，B’（0， -3）.

如圖2，連接CB’，∠B’DA=∠CBD=45°，∴DB’∥BC，可得四邊形DB’CB是菱形，B’（- -3）.

②∠B’AD=45°如圖3，連接CB’，過點B’分別作坐標軸的垂線，垂足為E、F，設線段FB’的長為m，B’E=AE=2-m，可得CF=5-m，在直角三角形CFB’中，，解得，B’（，）.

③如圖4，∠AB’D=45°，連接CB’，過點B’作Y軸的垂線，垂足為點F,由軸對稱性質可得，∠CB’D=∠CBD=45°，所以當∠AB’D=45°時，點A在線段CB’上，所以，設線段FB’的長為2m，FC=3m，，解得：， .