Question

如圖菱形ABCD的邊長為2，對角線BD=2，E、F分別是AD、CD上的兩個動點，且滿足AE+CF=2．
（1）求證：△BDE≌△BCF；
（2）判斷△BEF的形狀，并說明理由．同時指出△BCF是由△BDE經過如何變換得到？

Answer 1

【答案】分析：（1）先判定△ABD與△BCD都是等邊三角形，根據等邊三角形的性質可得∠BDE=∠C=60°，再求出DE=CF，然后利用“邊邊角”證明兩三角形全等；
（2）根據全等三角形對應邊相等可得BE=CF，全等三角形對應角相等可得∠DBE=∠CBF，然后求出∠EBF=60°，再根據等邊三角形的判定得解，利用旋轉變換解答．
解答：（1）證明：∵菱形ABCD的邊長為2，對角線BD=2，
∴AB=AD=BD=2，BC=CD=BD=2，
∴△ABD與△BCD都是等邊三角形，
∴∠BDE=∠C=60°，
∵AE+CF=2，
∴CF=2-AE，
又∵DE=AD-AE=2-AE，
∴DE=CF，
在△BDE和△BCF中，，
∴△BDE≌△BCF（SAS）；

（2）解：△BEF是等邊三角形．理由如下：
由（1）可知△BDE≌△BCF，
∴BE=BF，∠DBE=∠CBF，
∴∠EBF=∠DBE+∠DBF=∠CBF+∠DBF=∠DBC=60°，
∴△BEF是等邊三角形，
由圖可知，△BDE繞點B順時針旋轉60°即可得到△BCF．
點評：本題考查了菱形的四條邊都相等的性質，等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，以及旋轉變換，根據菱形的對角線BD與菱形的邊相等判定出等邊三角形是解題的關鍵．