Question

如圖，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD：BC=1：2，點E為邊AB中點，點F是邊BC上一動點，線段CE與線段DF交于點G．
（1）若，求的值；
（2）連接AG，在（1）的條件下，寫出線段AG和線段DC的位置關系和數量關系，并說明理由；
（3）連接AG，若AD=2，AB=3，且△ADG與△CDF相似，求BF的長．

Answer 1

解：（1）∵BF：FC=1：3，∴設BF=k，
則FC=3k，BC=4k，∵AD：BC=1：2，∴AD=2k，
如圖：延長CE交DA的延長線于點M，
∵AD∥BC，
∴，且
∵點E為邊AB中點，
∴AM=BC=4k，
∴DM=DA+AM=2k+4k=6k，
∴．

（2）AG∥DC，且．
證明：∵AD∥BC，
∴，
∵，
∴，
∴AG∥DC．
∴．

（3）∵ABCD是等腰梯形，AD=2，AD：BC=1：2，
∴BC=4，
∵AD∥BC，
∴∠ADG=∠DFC，
∵△ADG∽△CDF，
∴∠AGD=∠FDC或∠DAG=∠FDC．
情況1，當∠AGD=∠FDC時，有AG∥DC，延長CE交DA的延長線于點M，可得AM=4，
由得，
∴AG=2
∵△ADG與△CDF相似，且∠AGD=∠FDC，
∴，即，
∴CF=3
∴BF=1．
情況2，當∠DAG=∠FDC時，延長AG交BC于點T，可得△ABT∽△FCD，
則，由AD∥BC得，
設BF=x，可得FT=，
∴，
整理得：2x²-4x+11=0，
∵△=16-88＜0，
∴無實數根；
∴BF=1．
分析：（1）延長CE和DA，相交于M，根據平行線分線段成比例進行計算可以求出的值．（2）根據對應線段的比相等可以得到AG與DC的位置和數量關系．（3）根據兩三角形相似，對應線段的比相等，求出線段BF的長．
點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質，（1）根據梯形的兩底平行，延長CE和DA，運用平行線分線段成比例求出兩線段的比．（2）根據對應線段的比相等，證明兩線段互相平行．（3）根據兩三角形相似，對應線段的比相等，求出線段BF的長．