Question

在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx+2的圖象過和，與軸交于點，與軸交于另一點，點是原點關于點的對稱點，連結、，設點。

（1）求拋物線的解析式；

（2）連結、，①求的值；②將繞點旋轉，在旋轉過程中如圖（2），線段和的比值會變嗎？請說明理由；

（3）設點是直線上方的拋物線上一點，連結，以為邊作圖示一側的正方形，隨著點的運動，正方形的大小，位置也隨之改變，當頂點或恰好落在軸上時，直接寫出對應點的坐標。

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）①2②不變，理由見解析（3），，

【解析】解：（1）∵圖象經過、，代入

       得    解得   ∴

（2）①設，則  ，

∴∴

作EM⊥軸，   ∴MO=1

∴AM=1  ∴DM=2+1=3   EM=2 ∴DE=  BF=

∴

②成立。∵，∴，∠COB=∠DOC=Rt∠

∴△COB∽△DOC  ∴∠BCO=∠CDO  

又∵∠CDO+∠DCO=90°   ∴∠BCO+∠DCO=90°

∴∠DCB=90°       ∴∠DCE+∠ECB=∠CFD+∠BCE==90°

∴∠DCE =∠CFD    

∴△DEC∽△BCF     ∴

③當H點在軸上時，如圖，作QH⊥軸于H

QN⊥軸于N   ∵QP=QA  ∠AQN=∠PQN  ∠QNA+∠QHP=90°

 ∴△QAN≌△QPH    ∴QH=QN即  

∴   ∴   ∴（舍去），

∴     ∴

當G在軸上時，則△QAN≌△AOG  

∴QN=AO=2即          ，

∴，

（1）用待定系數法求得

（2）①設，求得A、D點的坐標，作EM⊥軸，根據勾股定理求得DE、 BF 的長，從而求得的值；②通過證得△COB∽△DOC，再證得△DEC∽△BCF，即可得出結論

（3）分兩種情況進行討論: 當H點在軸上時, 當G在軸上時