Question

（1）觀察發現
　 如圖（1）：若點A、B在直線m同側，在直線m上找一點P，使AP+BP的值最小，做法如下：
　 作點B關于直線m的對稱點B′，連接AB′，與直線m的交點就是所求的點P，線段AB′的長度即為AP+BP的最小值．

　 如圖（2）：在等邊三角形ABC中，AB=2，點E是AB的中點，AD是高，在AD上找一點P，使BP+PE的值最小，做法如下：
作點B關于AD的對稱點，恰好與點C重合，連接CE交AD于一點，則這點就是所求的點P，故BP+PE的最小值為______．
（2）實踐運用
　 如圖（3）：已知⊙O的直徑CD為2，的度數為60°，點B是的中點，在直徑CD上作出點P，使BP+AP的值最小，則BP+AP的值最小，則BP+AP的最小值為______．

（3）拓展延伸
如圖（4）：點P是四邊形ABCD內一點，分別在邊AB、BC上作出點M，點N，使PM+PN+MN的值最小，保留作圖痕跡，不寫作法．

Answer 1

解：（1）觀察發現
如圖（2），CE的長為BP+PE的最小值，
∵在等邊三角形ABC中，AB=2，點E是AB的中點
∴CE⊥AB，∠BCE=∠BCA=30°，BE=1，
∴CE=BE=；
故答案為；

（2）實踐運用
如圖（3），過B點作弦BE⊥CD，連結AE交CD于P點，連結OB、OE、OA、PB，
∵BE⊥CD，
∴CD平分BE，即點E與點B關于CD對稱，
∵的度數為60°，點B是的中點，
∴∠BOC=30°，∠AOC=60°，
∴∠EOC=30°，
∴∠AOE=60°+30°=90°，
∵OA=OE=1，
∴AE=OA=，
∵AE的長就是BP+AP的最小值．
故答案為；

（3）拓展延伸
如圖（4）．
分析：（1）觀察發現：利用作法得到CE的長為BP+PE的最小值；由AB=2，點E是AB的中點，根據等邊三角形的性質得到CE⊥AB，∠BCE=∠BCA=30°，BE=1，再根據含30度的直角三角形三邊的關系得CE=；
（2）實踐運用：過B點作弦BE⊥CD，連結AE交CD于P點，連結OB、OE、OA、PB，根據垂徑定理得到CD平分BE，即點E與點B關于CD對稱，則AE的長就是BP+AP的最小值；
由于的度數為60°，點B是的中點得到∠BOC=30°，∠AOC=60°，所以∠AOE=60°+30°=90°，于是可判斷△OAE為等腰直角三角形，則AE=OA=；
（3）拓展延伸：分別作出點P關于AB和BC的對稱點E和F，然后連結EF，EF交AB于M、交BC于N．
點評：本題考查了圓的綜合題：弧、弦和圓心角之間的關系以及圓周角定理在有關圓的幾何證明中經常用到，同時熟練掌握等邊三角形的性質以及軸對稱-最短路徑問題．