Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，AB為直徑，∠BAC=60°，延長BA至點P使AP=AC， 作CD平分∠ACB交AB于點E，交⊙O于點D. 連結PC，BD.

(1)求證：PC為⊙O的切線；

(2)求證：BD=PA；

(3)若PC=，求AE的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）

【解析】

（1）連接OC, PC是⊙O切線，只要證明OC⊥PC即可;

（2）連結AD,根據相等的圓周角所對的弦相等，得出AD=BD，進而利用勾股定理得出，再由△ACO為等邊三角形，得出結論;

（3）根據∠DBA=∠ACE=45°, ∠P=∠PCA=30°,得出PC=PE=,再利用勾股定理得出CO=6，PO=12，進而得出結論.

解：（1）連接OC，

,

∵∠BAC=60°，且OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC=60°.

∵AP=AC，且∠P+∠PCA=∠BAC=60°，

∴∠P=∠PCA=30°.

∴∠PCO=∠PCA+∠ACO=90°.

∴PC為切線.

(2)連結AD.

∵CD平分∠ACB，且∠ACB=90°，

∴∠ACD=∠BCD=45°.

∴AD=BD.

∵在Rt△ADB中，.

∴

又∵OA=OC，∠CAO=60°，

∴△ACO為等邊三角形，

∴AC=CO=AO.

∴.

∴BD=PA ;

(3) ∵∠DBA=∠ACE=45°, ∠P=∠PCA=30°,

∴，

∴

∴PC=PE=.

又在Rt△PCO中，OP=OA+PA=2OC，，

∴CO=6，PO=12.

∴

∴