Question

如圖，在銳角△ABC中，AD、CE分別是BC、AB邊上的高，AD、CE相交于F，BF的中點為P，AC的中點為Q，連接PQ、DE．
（1）求證：直線PQ是線段DE的垂直平分線；
（2）如果△ABC是鈍角三角形，∠BAC＞90°，那么上述結論是否成立？請按鈍角三角形改寫原題，畫出相應的圖形，并給予必要的說明．

Answer 1

（1）證明：連接PD、PE、QD、QE．
因為CE⊥AB，P是BF的中點，
所以△BEF是直角三角形，且
PE是Rt△BEF斜邊的中線，
所以PE=BF．
又因為AD⊥BC，
所以△BDF是直角三角形，且PD是Rt△BDF斜邊的中線，
所以PD=BF=PE，
所以點P在線段DE的垂直平分線上．
同理可證，QD、QE分別是Rt△ADC和Rt△AEC斜邊上的中線，
所以QD=AC=QE，
所以點Q也在線段DE的垂直平分線上．
所以直線PQ垂直平分線段DE．

（2）當△ABC為鈍角三角形時，（1）中的結論仍成立．
如圖，△ABC是鈍角三角形，∠BAC＞90°．
原題改寫為：如圖，在鈍角△ABC中，AD、CE分別是BC、AB邊上的高，DA與CE的延長線交于點F，BF的中點為P，AC的中點為Q，連接PQ、DE．

求證：直線PQ垂直且平分線段DE．
證明：連接PD，PE，QD，QE，則PD、PE分別是Rt△BDF和Rt△BEF的中線，
所以PD=BF，PE=BF，
所以PD=PE，
點P在線段DE的垂直平分線上．
同理可證QD=QE，
所以點Q在線段DE的垂直平分線上．
所以直線PQ垂直平分線段DE．
分析：（1）只需證明點P、Q都在線段DE的垂直平分線上即可．即證P、Q分別到D、E的距離相等．故連接PD、PE、QD、QE，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可證；
（2）根據題意，畫出圖形；結合圖形，改寫原題．
點評：此題考查了線段垂直平分線的判定和性質、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半等知識點，圖形較復雜，有一定綜合性，但難度不是很大．