Question

等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=12，AD=4，∠B=60°，點P是腰AB上的一個動點．
（1）求BC的長．
（2）如圖1，如果點M在BC上，BM=12，PM平分梯形ABCD的面積，求出此時PB的長；
（3）過點P作直線PM，是否存在PM將梯形ABCD的周長和面積同時平分？若存在，求出此時PB的長；若不存在，請說明理由；

Answer 1

解：（1）過點A作AE⊥BC，DF⊥BC，
∵∠B=60°，AB=12，
∴sin60°=，
∴AE=6，
∴BE=6，同理可證：FC=6，
∴BC=BE+EF+FC=6+4+6=16；

（2）作△PBM的高PG，
∵等腰梯形ABCD的面積是：（AD+BC）•AE=×（4+16）×6=60
∵PM平分梯形ABCD的面積，
∴S_△PBM=30，
∵BM=12，
∴PG=5，
∵∠B=60°，
∴PB=，
∴PB=10；

（3）當M在BC上時，梯形ABCD的周長是4+12+16+12=44，
∵PB=10，BM=12時PB+BM=22（符合題意），
PB=12，BM=10時 PB+BM=22（符合題意），
當M在DC上時（舍去），
當M在AD上（舍去），
則存在符合題意的直線PM．
分析：（1）先過點A作AE⊥BC，DF⊥BC，根據AB=12，∠B=60°，得出AE的值，同理得出FC的值，即可求出BC的值；
（2）先作△PBM的高PG，根據等腰梯形ABCD的面積的值和PM平分梯形ABCD的面積，求出S_△PBM的值，即可求出PG的值，再根據正弦定理即可求出PB的值；
（3）根據（2）所求出的值，求出梯形ABCD的周長，再根據PB和BM的值來進行判斷，正好符合題意，得出結論存在符合題意的直線PM．
點評：此題主要考查學生對等腰梯形的性質及三角形的面積的掌握情況．難度適中，解題關鍵是掌握三角形的面積公式和等腰梯形的周長．