Question

【題目】如圖，四邊形ABCD 是平行四邊形，AB＝c，AC＝b，BC＝a，拋物線 y＝ax2+bx﹣c 與 x 軸的一個交點為（m，0）．

（1）若四邊形ABCD是正方形，求拋物線y＝ax2+bx﹣c的對稱軸；

（2）若 m＝c，ac﹣4b＜0，且 a，b，c為整數，求四邊形 ABCD的面積．

Answer 1

【答案】(1)x=；（2）.

【解析】

（1）由四邊形ABCD是正方形，可求出a與b的關系，進而可根據對稱軸方程求出對稱軸；

（2）把（c，0）代入y=ax2+bx﹣c，整理得ac=16﹣4b，結合ac﹣4b＜0，可求b＞2，由求根公式得x1=﹣，x2=，解＞0，得b＜4，從而2＜b＜4，而b為整數，所以b=3，然后可求出a和c的值，從而可證明四邊形ABCD是菱形，根據菱形的面積公式即可求出四邊形ABCD的面積．

（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC，AC=AB，

即b=a=c，

∴拋物線y=ax2+bx﹣c的對稱軸為直線x=﹣=﹣=﹣；

（2）∵m=c，

∴拋物線y=ax2+bx﹣c與x軸的一個交點為（c，0）．

把（c，0）代入y=ax2+bx﹣c得ac2+bc﹣c=0，

∴ac+4b﹣16=0，

∴ac=16﹣4b，

∵ac﹣4b＜0，

∴16﹣4b﹣4b＜0，解得b＞2，

對于方程ax2+bx﹣c=0，

∵△=b2+4ac=b2+4（16﹣4b）=（b﹣8）2，

∴x=，解得x1=﹣，x2=，

∴拋物線與x軸的交點為（﹣，0），（，0），

而m=c＞0，

∴＞0，解得b＜4

∴2＜b＜4，

而b為整數，

∴b=3，

∴ac=16﹣4×3=4，

而a、c為整數，

∴a=1，c=4（舍去）或a=2，b=2，

即平行四邊形ABCD中，AB=2，BC=2，AC=3，

∴四邊形ABCD為菱形，

連接BD交AC于O，則OA=OC=，BO=DO，

在Rt△BOC中，BO==，

∴BD=2OB=，

∴四邊形ABCD的面積=×3×=．