Question

如圖所示，現有一張邊長為4的正方形紙片ABCD，點P為正方形AD邊上的一點（不與點A、點D重合）將正方形紙片折疊，使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP、BH．
（1）求證：∠APB=∠BPH；
（2）當點P在邊AD上移動時，△PDH的周長是否發生變化？并證明你的結論；
（3）設AP為x，四邊形EFGP的面積為S，求出S與x的函數關系式，試問S是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）見解析   （2）不變化  見解析   （3）存在 最小值6

（1）根據翻折變換的性質得出∠PBC=∠BPH，進而利用平行線的性質得出∠APB=∠PBC即可得出答案。
（2）先由AAS證明△ABP≌△QBP，從而由HL得出△BCH≌△BQH，即可得CH=QH。因此，△PDH的周長=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8為定值。
（3）利用已知得出△EFM≌△BPA，從而利用在Rt△APE中，（4﹣BE）²+x²=BE²，利用二次函數的最值求出即可。
解：（1）如圖1，∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB．

又∵∠EPH=∠EBC=90°，
∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP，即∠PBC=∠BPH。
又∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBC。∴∠APB=∠BPH。
（2）△PHD的周長不變為定值8。證明如下：
如圖2，過B作BQ⊥PH，垂足為Q。

由（1）知∠APB=∠BPH，
又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP，
∴△ABP≌△QBP（AAS）�！郃P=QP，AB=BQ。
又∵AB=BC，∴BC=BQ。
又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，∴△BCH≌△BQH（HL）�！郈H=QH。
∴△PHD的周長為：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。
（3）如圖3，過F作FM⊥AB，垂足為M，則FM=BC=AB。

又∵EF為折痕，∴EF⊥BP。
∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°。∴∠EFM=∠ABP。
又∵∠A=∠EMF=90°，AB=ME，∴△EFM≌△BPA（ASA）。
∴EM=AP=x．
∴在Rt△APE中，（4﹣BE）²+x²=BE²，即。
∴。
又∵四邊形PEFG與四邊形BEFC全等，
∴。
∵，∴當x=2時，S有最小值6。