Question

(2005·廣東佛山)“三等分角”是數學史上一個著名問題，但僅用標尺不可能“三等分角”．下面是數學家帕普斯借助函數給出的一種“三等分銳角”的方法(如圖所示)：將給定的銳角∠AOB置于直角坐標系中，邊OB在x軸上、邊OA與函數的圖像交于點P，以P為圓心、以2OP為半徑作弧交圖像于點R．分別過點P和R作x軸和y軸的并行線，兩直線相交于點M，連接OM得到∠MOB，則．要明白帕普斯的方法，請研究以下問題：

(1)、，求直線OM對應的函數表達式(用a、b的代數式表示)；

(2)分別過點P和R作y軸和x軸的并行線，兩直線相交于點Q．請說明Q點在直線OM上，并據此證明；

(3)應用上述方法得到的結論，你如何三等分一個鈍角(用文字簡要說明)．

Answer 1

答案：略
解析：

解　(1)設直線OM的函數關系式為y=kx， 　　，，則 　　∴． 　　∴直線OM的函數關系式． (2)Q的坐標滿足， 　　∴Q點在直線OM上． 　　四邊形PQRM是矩形，∴，∴∠SQR=∠SRQ． 　　∵PR=2OP，∴． 　　∴∠POS=∠PSO． 　　∵∠PSQ是△SQR的一個外角， 　　∴∠PSQ=2∠SQR．∴∠POS=2∠SQR． 　　∵QR∥OB，∴∠SOB=∠SOR． 　　∠POS=∠SOB． 　　． (3)以下方法只要回答一種即可． 　　方法一：利用鈍角的一半是銳角，然后利用上述結論把銳角三等分的方法即可． 　　方法二：也可把鈍角減去一個直角得一個銳角，然后利用上述結論把銳角三等分后．再將直角利用等邊三角形(或其它方法)將其三等分即可．