Question

如圖是一個形如正六邊形的點陣，它的中心是一個點，算第一層，第二層每邊有兩個點，第三層每邊有三個點，…，依此類推．

（1）填寫下表：

層數	1	2	3	4	…
該層對應的點數	1	6	12	18	…
所有層的總點數	1				…

（2）寫出第n層所對應的點數（n≥2）；
（3）寫出n層的正六邊形點陣的總點數（n≥2）；
（4）如果點陣中所有層的總點數為331，請求出它共有幾層？

Answer 1

（1）7、19、37；（2）；（3）；（4）11層

試題分析：根據六邊形有六條邊，則第一層有1個點，第二層有2×6-6=6（個）點，第三層有3×6-6=12（個）點，根據這個特征得到規律，再把這個規律應用于解題即可．
（1）第一層上的點數為1；
第二層上的點數為6=1×6；
第三層上的點數為6+6=2×6；
第四層上的點數為6+6+6=3×6；
…
第n層上的點數為（n-1）×6；
則2層六邊形點陣的總點數為1+6=7
3層六邊形點陣的總點數為1+6+12=19
4層六邊形點陣的總點數為1+6+12+18=37；
（2）n層六邊形點陣的總點數為1+1×6+2×6+3×6+…+（n-1）×6
=1+6[1+2+3+4+…+（n-1）]=1+6[（1+2+3+…+n-1）+（n-1+n-2+…+3+2+1）]÷2
；
（3）由題意得
解得（舍去）
答：共有11層.
點評：對于找規律的題目首先應找出哪些部分發生了變化，是按照什么規律變化的．通過分析找到各部分的變化規律后直接利用規律求解．