Question

（2012•鞍山二模）如圖，已知直線y=-

3

3

x+6與x軸交于A點，與y軸交于B點，直線l₁從與直線l重合的位置開始以每秒1個單位速度向下作勻速平行移動．與此同時，點P從點A出發以每秒2個單位的速度沿直線l₁向左上方勻速運動，設它們運動時間為t．
（1）用含t的代數式表示P點的坐標；
（2）過O作OC⊥AB于點C，以點P為圓心，1為半徑作圓．
①若⊙P與直線OC相切，求此時t的值；
②已知⊙P與直線OC相交，交點為E、F，當△PEF是等邊三角形時，求t的值．

Answer 1

分析：（1）易證∠BAO=30°，因而當P從點A出發以每秒2個單位的速度沿直線l₁向左上方勻速運動時，P以1個單位長度/秒的速度向上運動，以

3

單位長度/秒的速度向左運動．
而直線l₁從以每秒1個單位速度向下作勻速平行移動，故P以

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單位長度/秒的速度沿x軸向左運動，則P的坐標可以求得；
（2）①若⊙P與直線OC相切，則PM=1，在直角△OMP中利用三角函數即可得到關于t的方程，解方程求得t的值；
②△PEF是等邊三角形時，在OP一定是等邊三角形的一邊，則OP=1，據此即可求得t的值．

解答：解：（1）在y=-

3

3

x+6中，令x=0，則y=6，即B的坐標是（0，6），
令y=0，則-

3

3

x+6=0，解得：x=6

3

，
則OA=6

3

，OB=6，
則∠BAO=30°，
因而當P從點A出發以每秒2個單位的速度沿直線l₁向左上方勻速運動時，P以1個單位長度/秒的速度向上運動，以

3

單位長度/秒的速度向左運動．
而直線l₁從以每秒1個單位速度向下作勻速平行移動，故P以

3

單位長度/秒的速度沿x軸向左運動．
則P的坐標是（6

3

-

3

t，0）；

（2）①若⊙P與直線OC相切，當P在OC的右邊時，直角△OPM中，MP=1，OP=6

3

-3t，∠MPO=∠BAO=30°，
則cos∠MPO=

MP

OP

=

1

6 3 - 3 t

=

3

2

，解得：t=

16

3

；
當當P在OC的左邊時，直角△OPM中，MP=1，OP=

3

t-6

3

，∠MPO=∠BAO=30°
則cos∠MPO=

MP

OP

=

1

3 t-6 3

=

3

2

，解得：t=

20

3

；

②△PEF是等邊三角形時，OP=1，則當P在OC的右邊時，6

3

-

3

t=1，解得：t=6-

3

3

（秒）；
當P在OC的左邊時：

3

t-6

3

=1，解得：t=6+

3

3

（秒）．

點評：本題考查了一次函數與三角函數的綜合題，正確理解P運動的路徑是關鍵．