Question

已知：如圖，直線y=kx+b與x軸、y軸分別交于點A、B兩點，OA=OB=1，動點P在線段AB上移動，以P為頂點作∠OPQ=45°，射線PQ交x軸于點Q．
（1）求直線AB的解析式．
（2）△OPQ能否是等腰三角形？如果能，請求出點P的坐標；若不能，請說明理由．
（3）無論m為何值，（2）中求出的P點是否始終在直線y=mx+

1-m

2

（m≠0）上？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）求出A、B點的坐標，利用待定系數法解方程組，求出函數的解析式；
（2）假設存在等腰三角形，分三種情況討論：（�。㏎P=QO；（ⅱ）QP=QO；（ⅲ） 若PO=PQ．能求出P點坐標，則存在點P，否則，不存在．
（3）將（2）中的點代入y=mx+

1-m

2

（m≠0），等式成立的點即在直線上．

解答：解：（1）由OA=OB=1可知點A、B的坐標是A（0，1），B（1，0），
把A（0，1），B（1，0）代入y=kx+b得：

b=1 k+b=0

，
解得：k=-1，b=1，
則y=-x+1；

（2）△OPQ可以是等腰三角形．
過P點PE⊥OA交OA于點E，
（ⅰ）若OP=OQ，
則∠OPQ=∠OQP=∠OPQ，
∴∠POQ=90°，
∴點P與點A重合，
∴點P坐標為（0，1），
（ⅱ）若QP=QO，
則∠OPQ=∠QOP=45°，
所以PQ⊥QO，
可設P（x，x）代入y=-x+1得x=

1

2

，
∴點P坐標為（

1

2

，

1

2

），
（ⅲ） 若PO=PQ，
∵∠OPQ+∠1=∠2+∠3，
而∠OPQ=∠3=45°，
∴∠1=∠2，
又∵∠3=∠4=45°，
∴△AOP≌△BPQ（AAS），
PB=OA=1，
∴AP=

2

-1
由勾股定理求得PE=AE=1-

2

2

，
∴EO=

2

2

，
∴點P坐標為（1-

2

2

，

2

2

），
∴點P坐標為（0，1）或（

1

2

，

1

2

）或（1-

2

2

，

2

2

）時，△OPQ是等腰三角形．

（3）把x=0代入y=mx+

1-m

2

≠1；
把x=

1

2

代入y=mx+

1-m

2

=

1

2

；
把x=1-

2

2

代入y=mx+

1-m

2

≠

2

2

，
所以，（2）中求得的點P，只有當點P坐標為（

1

2

，

1

2

）時，P點始終在直線y=mx+

1-m

2

（m≠0）上．

點評：本題考查了一次函數綜合題，屬于存在性問題，要分類討論，同時假設存在，能求出點的坐標，則存在，否則，不存在．