Question

（2007•海淀區一模）已知，如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線l₁的解析式為y=-x²，將拋物線l₁平移后得到拋物線l₂，若拋物線l₂經過點（0，2），且其頂點A的橫坐標為最小正整數．
（1）求拋物線l₂的解析式；
（2）說明將拋物線l₁如何平移得到拋物線l₂；
（3）若將拋物線l₂沿其對稱軸繼續上下平移，得到拋物線l₃，設拋物線l₃的頂點為B，直線OB與拋物線l₃的另一個交點為C．當OB=OC時，求點C的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線l₂經過點（0，2），即可求出c的值，再利用其頂點A的橫坐標為最小正整數，求出b的值即可；
（2）根據配方法得出y=-x²+2x+2=-（x-1）²+3，即可得出圖象的平移方向；
（3）利用OB=OC，且B、O、C三點在同一條直線上，點B與點C關于原點對稱，進而得出點C的坐標為（-1，-m）代入拋物線l₃的解析式y=-（x-1）²+m，求出即可．

解答：解：（1）設拋物線l₂的解析式為y=-x²+bx+c．
∵點（0，2）在拋物線l₂上，
∴y=-x²+bx+2．
∵拋物線l₂的頂點的橫坐標為1，
∴b=2．
∴l₂的解析式為y=-x²+2x+2．

（2）∵y=-x²+2x+2=-（x-1）²+3，
∴將拋物線l₁：y=-x²的圖象向右平移1個單位長度，再向上平移3個單位長度，可以得到拋物線l₂．（答案不唯一）

（3）設頂點B的坐標為（1，m），
則拋物線l₃的解析式為y=-（x-1）²+m．
∵OB=OC，且B、O、C三點在同一條直線上，
∴點B與點C關于原點對稱．
∴點C的坐標為（-1，-m）．
∵點C在拋物線l₃上，
∴-m=-（-1-1）²+m．
∴m=2．
∴點C的坐標為（-1，-2）．

點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及圖象的平移和點的坐標性質，根據已知得出點B與點C關于原點對稱，點C的坐標為（-1，-m）是解題關鍵．