Question

【題目】如圖，已知以E（3，0）為圓心，以5為半徑的⊙E與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，拋物線經過A，B，C三點，頂點為F．

（1）求A，B，C三點的坐標；

（2）求拋物線的解析式及頂點F的坐標；

（3）已知M為拋物線上一動點（不與C點重合），試探究：

①使得以A，B，M為頂點的三角形面積與△ABC的面積相等，求所有符合條件的點M的坐標；

②若探究①中的M點位于第四象限，連接M點與拋物線頂點F，試判斷直線MF與⊙E的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（-2，0），B（8，0），C（0，－4）；（2）．F（3，）；（3）①點M的坐標為（，4）或（，4）；②直線MF與⊙E相切．理由見解析.

【解析】

（1）由題意可直接得到點A、B的坐標，連接CE，在Rt△OCE中，利用勾股定理求出OC的長，則得到點C的坐標．

（2）已知點A、B、C的坐標，利用交點式與待定系數法求出拋物線的解析式，由解析式得到頂點F的坐標．

（3）①△ABC中，底邊AB上的高OC=4，若△ABC與△ABM面積相等，則拋物線上的點M須滿足條件：|yM|=4．因此解方程yM=4和yM=-4，可求得點M的坐標．

②如解答圖，作輔助線，可求得EM=5，因此點M在⊙E上；再利用勾股定理求出MF的長度，則利用勾股定理的逆定理可判定△EMF為直角三角形，∠EMF=90°，所以直線MF與⊙E相切．

解：（1）∵以E（3，0）為圓心，以5為半徑的⊙E與x軸交于A，B兩點，

∴A（-2，0），B（8，0）．

如圖所，連接CE，

在Rt△OCE中，，CE=5，

由勾股定理得：，

∴C（0，－4）．

（2）∵點A（－2，0），B（8，0）在拋物線上，

∴設拋物線的解析式為．

∵點C（0，－4）在拋物線上，

∴，解得．

∴拋物線的解析式為：，即．

∵．

∴頂點F的坐標為（3，）．

（3）①∵△ABC中，底邊AB上的高OC=4，

∴若△ABC與△ABM面積相等，則拋物線上的點M須滿足條件：|yM|=4．

（I）若yM=4，則，

整理得：，解得或．

∴點M的坐標為（，4）或（，4）．

（II）若yM=－4，則，

整理得：，解得x=6或x=0（與點C重合，故舍去）．

∴點M的坐標為（6，－4）．

綜上所述，滿足條件的點M的坐標為：（，4）或（，4）或（6，－4）．

②直線MF與⊙E相切．理由如下：

由題意可知，M（6，－4）．

如圖，連接EM，MF，過點M作MG⊥對稱軸EF于點G，則MG=3，EG=4．

在Rt△MEG中，由勾股定理得：，

∴點M在⊙E上．

由（2）知，F（3，），∴EF=．

∴．

在Rt△MGF中，由勾股定理得：，

在△EFM中，∵，

∴△EFM為直角三角形，∠EMF=90°．

∵點M在⊙E上，且∠EMF=90°，

∴直線MF與⊙E相切．