Question

已知：Rt△ABC斜邊上的高為2.4，將這個直角三角形放置在平面直角坐標系中，使其斜邊AB與x軸重合，直角頂點C落在y軸正半軸上，點A的坐標為（-1.8，0）．
（1）求點B的坐標和經過點A、B、C的拋物線的關系式；
（2）如圖①，點M為線段AB上的一個動點（不與點A、B重合），MN∥AC，交線段BC于點N，MP∥BC，交線段AC于點P，連接PN，△MNP是否有最大面積？若有，求出△MNP的最大面積；若沒有，請說明理由；
（3）如圖②，直線l是經過點C且平行于x軸的一條直線，如果△ABC的頂點C在直線l上向右平移m，（2）中的其它條件不變，（2）中的結論還成立嗎？請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵AC⊥BC，OC⊥AB，
∴△AOC∽△COB，
∴=
∵AO=1.8，則OC=2.4，
∴=
解得OB=3.2，
∴點B的坐標為（3.2，0）
設經過點A、B、C的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
將點A、B、C的坐標代入得y=-x

（2）用勾股定理求出AC=3，BC=4，
∵AC⊥BC，MN∥AC，MP∥BC，
∴四邊形MNCP為矩形，且△MNB∽△ACB，=
設MN=3x，則NB=4x，得CN=4-4x
∴四邊形MNCP的面積為3x（4-4x），從而△MNP的面積是：
S=3x（4-4x）
=-6x²+6x
=-6（x-）²+
當x=，△MNP面積的最大值為；

（3）∵l∥AB，
∴△ABC的面積（2）中△ABC的面積相等為6，
由MN∥AC，MP∥BC，得△MNB∽△ACB，△MAP∽△BAC
則=，=
設MB=x，則AM=5-x，
∴△MBN的面積是；x²，△MAP的面積是：，
∴△MNP的面積是：
S=（△ABC的面積-△MBN的面積-△MAP的面積）
=-+x
=-，
當x=，即MB為時，△MNP面積的最大值為，
∴（2）中的結論仍然成立．
分析：（1）本題須先證出△AOC∽△COB，從而得出點B的坐標，再把點A、B、C的坐標代入即可求出拋物線的解析式．
（2）本題須先根據△MNB∽△ACB，得出=，再表示出CN的長，然后代入四邊形MNCP的面積為3x（4-4x），從而得出S=-6（x-）²+，即可求出
△MNP面積的最大值為．
（3）本題須先根據相似三角形的性質得出則△MNP的面積，然后求出△MNP面積的最大值即可得出正確結論．
點評：本題主要考查了二次函數的綜合應用，在解題時要注意把二次函數的圖象和性質與相似三角形的性質相結合是本題的關鍵．