Question

【題目】如圖，BD是△ABC的角平分線，過點D作DE∥BC交AB于點E，DF∥AB交BC于點F．

（1）求證：四邊形BEDF為菱形；

（2）如果∠A＝90°，∠C＝30°，BD＝6，求菱形BEDF的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）S四邊形BEDF＝6.

【解析】

（1）由題意可證BE=DE，四邊形BEDF是平行四邊形，即可證四邊形BEDF為菱形；

（2）過點D作DH⊥BC于點H，由題意可得BD=CD=6，根據30度所對的直角邊等于斜邊的一半，可求DH=3，即可求DF=BF的長，即可得菱形BEDF的面積．

（1）∵DE∥BC，DF∥AB，∴四邊形DEBF是平行四邊形．

∵DE∥BC，∴∠EDB=∠DBF．

∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBF∠ABC，∴∠ABD=∠EDB，∴DE=BE且四邊形BEDF為平行四邊形，∴四邊形BEDF為菱形．

（2）如圖：過點D作DH⊥BC于點H．

∵∠A=90°，∠C=30°，∴∠ABC=60°，∴∠DBC=30°=∠C，∴DB=DC=6．

∵DH⊥BC，∠C=30°，∴DC=2DH=6，∴DH=3．

∵DF∥AB，∴∠A=∠FDC=90°，且∠C=30°，DC=6，∴DCDF，∴DF=2．

∵四邊形BEDF為菱形，∴BF=DF=2，∴S四邊形BEDF=BF×DH=23=6．